Dentre as transformações definidas pelas seguintes leis, verificar quais são lineares.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se uma transformação específica é linear. O conteúdo aqui envolve transformações lineares, que são um conceito da álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que define uma transformação linear e aplicar esses critérios na transformação dada, que é
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação
é linear se, para quaisquer vetores
e
e para qualquer escalar
, as seguintes duas propriedades forem verdadeiras:
- Adição:
- Multiplicação por escalar:
Ou seja, uma transformação linear preserva a estrutura de adição e de multiplicação por escalar.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essas propriedades na transformação
. Primeiro, vamos testar a propriedade da adição.
Tomemos dois números quaisquer, digamos
e
. Então:
Expandindo o lado direito:
Por outro lado:
Comparando os dois resultados:
Então, a propriedade da adição não é satisfeita.
Passo 4
Como a transformação
já falhou em uma das propriedades necessárias para ser linear, não precisamos verificar a segunda propriedade da multiplicação por escalar. Se alguma das propriedades não for satisfeita, a transformação não é linear.
Resposta
A transformação
não é linear.
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Mostre que os pontos
são colineares.
Dentre as transformações definidas pelas seguintes leis, verificar quais são lineares.
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Considere uma matriz
e responda:
© Se e
, então quanto vale o
? Resp.: 1125
© Se
Sejam
e
vetores tais que
é unitário,
e a medida angular ang
. Calcule
.