Dentre as transformações definidas pelas seguintes leis, verificar quais são lineares.
T: Re Re ; T(x)=x^2;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se uma transformação específica é linear. O conteúdo aqui envolve transformações lineares, que são um conceito da álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que define uma transformação linear e aplicar esses critérios na transformação dada, que é T(x) = x^2.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação T é linear se, para quaisquer vetores u e v e para qualquer escalar c, as seguintes duas propriedades forem verdadeiras:
  1. Adição: T(u + v) = T(u) + T(v)
  2. Multiplicação por escalar: T(c cdot u) = c cdot T(u)
Ou seja, uma transformação linear preserva a estrutura de adição e de multiplicação por escalar.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essas propriedades na transformação T(x) = x^2. Primeiro, vamos testar a propriedade da adição.
Tomemos dois números quaisquer, digamos x e y. Então:
T(x + y) = (x + y)^2
Expandindo o lado direito:
(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2
Por outro lado:
T(x) + T(y) = x^2 + y^2
Comparando os dois resultados:
T(x + y) = x^2 + 2xy + y^2 neq x^2 + y^2 = T(x) + T(y)
Então, a propriedade da adição não é satisfeita.

Passo 4

Como a transformação T(x) = x^2 já falhou em uma das propriedades necessárias para ser linear, não precisamos verificar a segunda propriedade da multiplicação por escalar. Se alguma das propriedades não for satisfeita, a transformação não é linear.

Resposta

A transformação T(x) = x^2 não é linear.

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