Seja
. Se
, então
? Resp.: Não
Passo 1
Então, temos uma matriz quadrada
de ordem
onde o determinante de
,
, não é zero. A pergunta é se o determinante de
(onde
é um escalar) é igual a
vezes o determinante de
. Vamos usar propriedades de determinantes para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, é importante lembrar que multiplicar uma matriz por um escalar
significa multiplicar cada elemento da matriz por
. Mas como isso afeta o determinante da matriz?
Passo 3
A regra geral para determinantes diz que se você multiplica uma única linha (ou coluna) de uma matriz por um escalar
, o determinante da matriz também é multiplicado por
. Porém, se você multiplicar todas as linhas (ou todas as colunas) de uma matriz
por
, o determinante será multiplicado por
.
Passo 4
Aplicando isso ao nosso caso, ao multiplicar toda a matriz
por
, estamos essencialmente multiplicando cada uma das
linhas por
. Portanto, o determinante resultante será
, e não apenas
.
Passo 5
Isso significa que a igualdade
só seria verdadeira se
. Isso só acontece em casos específicos, como quando
ou
ou
, mas não de forma geral para qualquer
e qualquer
.
Resposta
Não, em geral,
.