Dentre as transformaçōes (funçōes) dadas abaixo, verificar quais delas sào lineares.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se uma transformação dada é linear. Estamos lidando com transformações entre espaços vetoriais, especificamente de
para
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que define uma transformação linear e aplicar esses conceitos à função que a gente tem.
Passo 2
Primeiro, o que é uma transformação linear? Uma transformação
é linear se ela respeita duas propriedades principais:
- Aditividade:
para quaisquer vetores e . - Homogeneidade (ou Escalar):
para qualquer escalar e vetor .
Essas propriedades garantem que a transformação preserve a estrutura do espaço vetorial.
Passo 3
Vamos aplicar isso à transformação que temos:
Primeiro, vamos checar se
transforma o vetor zero no vetor zero, ou seja,
.
Calculando:
Ótimo, a primeira condi��ão está satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a aditividade. Seja
e
. Precisamos ver se:
Calculando o lado esquerdo:
Simplificando:
Agora, o lado direito:
Comparando os dois lados, vemos que são iguais. Portanto, a propriedade de aditividade está satisfeita.
Passo 5
Agora, vamos verificar a homogeneidade. Seja
um escalar e
. Precisamos verificar se:
Calculando o lado esquerdo:
E o lado direito:
Mais uma vez, os dois lados são iguais, então a propriedade de homogeneidade também está satisfeita.
Resposta
Como a transformação
satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, ela é linear.