Dentre as transformaçōes (funçōes) dadas abaixo, verificar quais delas sào lineares.
T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(x+y, x-y,-x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se uma transformação dada é linear. Estamos lidando com transformações entre espaços vetoriais, especificamente de para . Para resolver isso, vamos precisar entender o que define uma transformação linear e aplicar esses conceitos à função que a gente tem.

Passo 2

Primeiro, o que é uma transformação linear? Uma transformação é linear se ela respeita duas propriedades principais:
  1. Aditividade: para quaisquer vetores e .
  2. Homogeneidade (ou Escalar): para qualquer escalar e vetor .
Essas propriedades garantem que a transformação preserve a estrutura do espaço vetorial.

Passo 3

Vamos aplicar isso à transformação que temos:
T(x, y, z) = (x + y, x - y, -x)
Primeiro, vamos checar se T(0, 0, 0) = (0 + 0, 0 - 0, -0) = (0, 0, 0) transforma o vetor zero no vetor zero, ou seja, .
Calculando:
Ótimo, a primeira condi��ão está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a aditividade. Seja T(u + v) = T(u) + T(v) e T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = ((x1 + x2) + (y1 + y2), (x1 + x2) - (y1 + y2), -(x1 + x2)) . Precisamos ver se:
= (x1 + y1 + x2 + y2, x1 - y1 + x2 - y2, -x1 - x2)
Calculando o lado esquerdo:
T(u) + T(v) = (x1 + y1, x1 - y1, -x1) + (x2 + y2, x2 - y2, -x2) = (x1 + y1 + x2 + y2, x1 - y1 + x2 - y2, -x1 - x2)
Simplificando:
Agora, o lado direito:
Comparando os dois lados, vemos que são iguais. Portanto, a propriedade de aditividade está satisfeita.

Passo 5

Agora, vamos verificar a homogeneidade. Seja T(cu) = cT(u) um escalar e T(cu) = T(cx, cy, cz) = (cx + cy, cx - cy, -cx) . Precisamos verificar se:
= c(x + y, x - y, -x)
Calculando o lado esquerdo:
cT(u) = c(x + y, x - y, -x) = (c(x + y), c(x - y), c(-x)) = (cx + cy, cx - cy, -cx)
E o lado direito:
Mais uma vez, os dois lados são iguais, então a propriedade de homogeneidade também está satisfeita.

Resposta

Como a transformação satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, ela é linear.

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