Seja
Demonstrar que as funções:
Conformam uma base de .
Passo 1
Vamos lá! A gente tem um espaço vetorial formado por combinações lineares de funções como , , e . O exercício pede para mostrar que as funções , , e formam uma base para esse espaço . Para isso, precisamos verificar duas coisas: se essas funções geram o espaço (ou seja, qualquer função em pode ser escrita como uma combinação linear delas) e se elas são linearmente independentes (ou seja, nenhuma delas pode ser escrita como combinação das outras). Vamos focar na linearidade para facilitar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que essas funções são linearmente independentes. Isso quer dizer que se a combinação linear delas for igual à função zero, os coeficientes dessa combinação devem ser todos iguais a zero. Em termos matemáticos, queremos resolver a seguinte equação:
onde são constantes reais.
Passo 3
Vamos substituir as funções na equação:
Vamos distribuir os coeficientes:
Passo 4
Agora, vamos agrupar termos semelhantes:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes de cada função base devem ser iguais a zero. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema passo a passo:
Da segunda equação, já sabemos que .
Da quarta equação, temos .
Da terceira equação, substituindo , temos ou seja, .
Substituindo e na primeira equação:
Se , então e .
Passo 6
Encontramos que . Isso significa que a única combinação linear das funções que resulta na função zero é aquela onde todos os coeficientes são zero. Portanto, as funções são linearmente independentes.
Resposta
Como há exatamente quatro funções linearmente independentes no espaço de dimensão quatro, essas funções , , e formam uma base para .