Seja V=a0+a1 t+a2 cos 2 t+a3 e^3 t / ai in R, t in R
Demonstrar que as funções: f1(t)=2 t-1 f2(t)=t+cos 2 t f3(t)=3-e^3 t f4(t)=-t+e^3 t
Conformam uma base de V.

Passo 1

Vamos lá! A gente tem um espaço vetorial formado por combinações lineares de funções como , , e . O exercício pede para mostrar que as funções , , e formam uma base para esse espaço . Para isso, precisamos verificar duas coisas: se essas funções geram o espaço (ou seja, qualquer função em pode ser escrita como uma combinação linear delas) e se elas são linearmente independentes (ou seja, nenhuma delas pode ser escrita como combinação das outras). Vamos focar na linearidade para facilitar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que essas funções são linearmente independentes. Isso quer dizer que se a combinação linear delas for igual à função zero, os coeficientes dessa combinação devem ser todos iguais a zero. Em termos matemáticos, queremos resolver a seguinte equação:
c1 f1(t) + c2 f2(t) + c3 f3(t) + c4 f4(t) = 0
onde são constantes reais.

Passo 3

Vamos substituir as funções na equação:
c1 (2t - 1) + c2 (t + cos 2t) + c3 (3 - e^3t) + c4 (-t + e^3t) = 0
Vamos distribuir os coeficientes:
2c1 t - c1 + c2 t + c2 cos 2t + 3c3 - c3 e^3t - c4 t + c4 e^3t = 0

Passo 4

Agora, vamos agrupar termos semelhantes:
(2c1 + c2 - c4) t + c2 cos 2t + (3c3 - c1) + (-c3 + c4) e^3t = 0
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo 2c1 + c2 - c4 = 0 c2 = 0 3c3 - c1 = 0 -c3 + c4 = 0 , os coeficientes de cada função base devem ser iguais a zero. Assim, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema passo a passo:
  1. Da segunda equação, já sabemos que 2(3c3) + 0 - c3 = 0 Rightarrow 6c3 - c3 = 0 Rightarrow 5c3 = 0 Rightarrow c3 = 0 .
  2. Da quarta equação, temos .
  3. Da terceira equação, substituindo , temos ou seja, .
  4. Substituindo e na primeira equação:
  5. Se , então e .

Passo 6

Encontramos que . Isso significa que a única combinação linear das funções que resulta na função zero é aquela onde todos os coeficientes são zero. Portanto, as funções são linearmente independentes.

Resposta

Como há exatamente quatro funções linearmente independentes no espaço de dimensão quatro, essas funções , , e formam uma base para .

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