Verificar se o vetor
pertence aos conjunto imagem de
, sendo
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um vetor
e uma transformação linear
que manda vetores de
para
da seguinte forma:
A ideia aqui é descobrir se o vetor
está na imagem de
, ou seja, se existe algum vetor
que, ao aplicar
, resulta exatamente em
. Vamos precisar resolver um sistema de equações para descobrir isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa imagem de uma transformação linear. A imagem de
(
) é o conjunto de todos os vetores que podemos obter aplicando
a qualquer vetor de
. Então, queremos ver se
está nesse conjunto.
Para isso, vamos montar um sistema de equações baseado na definição de
:
Nosso objetivo é encontrar valores de
e
que satisfaçam ambas as equações ao mesmo tempo.
Passo 3
Vamos resolver o sistema. Primeiro, pegamos a primeira equação:
Podemos expressar
em função de
:
Agora, substituímos essa expressão de
na segunda equação:
Simplificando:
Agora, isolamos
:
Passo 4
Agora que encontramos
, voltamos à expressão que tínhamos para
:
Então, encontramos
e
.
Resposta
Sim, o vetor
pertence ao conjunto imagem de
, pois existe o vetor
que, ao ser transformado por
, resulta em
.