Verificar se o vetor (5,3) pertence aos conjunto imagem de T(Im T), sendo
T: R^2 R^2, T(x, y)=(x-2 y, 2 x+3 y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um vetor T(x, y) = (x - 2y, 2x + 3y) e uma transformação linear que manda vetores de para da seguinte forma:
A ideia aqui é descobrir se o vetor está na imagem de , ou seja, se existe algum vetor que, ao aplicar , resulta exatamente em . Vamos precisar resolver um sistema de equações para descobrir isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa imagem de uma transformação linear. A imagem de x - 2y = 5 2x + 3y = 3 ( ) é o conjunto de todos os vetores que podemos obter aplicando a qualquer vetor de . Então, queremos ver se está nesse conjunto.
Para isso, vamos montar um sistema de equações baseado na definição de :
Nosso objetivo é encontrar valores de e que satisfaçam ambas as equações ao mesmo tempo.

Passo 3

Vamos resolver o sistema. Primeiro, pegamos a primeira equação:
x - 2y = 5 (1)
Podemos expressar x = 5 + 2y em função de 2(5 + 2y) + 3y = 3 :
10 + 4y + 3y = 3 10 + 7y = 3
Agora, substituímos essa expressão de 7y = 3 - 10 7y = -7 y = -1 na segunda equação:
Simplificando:
Agora, isolamos :

Passo 4

Agora que encontramos x = 5 + 2(-1) x = 5 - 2 x = 3 , voltamos à expressão que tínhamos para :
Então, encontramos e .

Resposta

Sim, o vetor pertence ao conjunto imagem de , pois existe o vetor que, ao ser transformado por , resulta em .

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