Verifique se as funções abaixo de em são lineares. Em caso afirmativo, determine suas matrizes. Além disso, classifique-as como injetoras ou sobrejetoras, determine núcleo e imagem
a) ;
b) ;
c) ;
d) ;
e) ;
f) ;
g) ;
h) ;
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada na primeira função: . A questão pede para a gente verificar se essa função é linear, encontrar sua matriz se for, identificar se é injetora ou sobrejetora, e determinar o núcleo e a imagem dela. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função linear, como encontrar a matriz de uma transformação linear, e como determinar injetividade, sobrejetividade, núcleo e imagem.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função é linear. Uma função é linear se ela satisfaz duas propriedades básicas:
Adição vetorial:
Multiplicação por escalar:
Vamos testar essas propriedades.
Passo 3
Vamos checar a adição vetorial. Sejam e . Então:
Agora, calculando :
Vemos que . Então, a propriedade da adição vetorial é satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a multiplicação por escalar. Seja um escalar e :
Então, a propriedade da multiplicação por escalar também é satisfeita. Portanto, a função é linear.
Passo 5
Como a função é linear, podemos encontrar sua matriz associada. Em transformação linear de para , a matriz é formada pelos coeficientes de e em cada componente da função.
Para , a matriz é:
Passo 6
Vamos agora determinar se a matriz é injetora ou sobrejetora. Para isso, verificamos se a matriz é invertível. Uma matriz é invertível se seu determinante for diferente de zero.
Calculando o determinante de :
Como o determinante é diferente de zero, é invertível. Portanto, a transformação é:
Injetora: Sim, porque o núcleo contém apenas o vetor zero.
Sobrejetora: Sim, porque a imagem é todo o espaço .
Passo 7
Vamos determinar o núcleo e a imagem da transformação.
Núcleo (Ker(f)): É o conjunto de vetores tais que .
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação: .
Substituindo na primeira equação: → → , então .
Portanto, o núcleo é apenas o vetor zero: .
Imagem (Im(f)): Como a matriz é invertível, a imagem é todo .
Resposta
A função é linear. Sua matriz associada é:
A transformação é injetora e sobrejetora, já que a matriz é invertível (determinante diferente de zero). O núcleo da transformação é e a imagem é .