Verifique se as funções abaixo de C^2 em C^2 são lineares. Em caso afirmativo, determine suas matrizes. Além disso, classifique-as como injetoras ou sobrejetoras, determine núcleo e imagem
a) f(x, y)=(3 x+y, x-2 y);
b) f(x, y)=(3 x+y, 0);
c) f(x, y)=(x y, x-y);
d) f(x, y)=(x+y-1,2 x-3 y);
e) f(x, y)=(x+y, 2 x-3 y);
f) f(x, y)=(x+y, log 10(x y));
g) f(x, y)=(cos (x+y), sin (x+y));
h) f(x, y)=(0,0);

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na primeira função: . A questão pede para a gente verificar se essa função é linear, encontrar sua matriz se for, identificar se é injetora ou sobrejetora, e determinar o núcleo e a imagem dela. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função linear, como encontrar a matriz de uma transformação linear, e como determinar injetividade, sobrejetividade, núcleo e imagem.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é linear. Uma função é linear se ela satisfaz duas propriedades básicas:
  1. Adição vetorial:
  2. Multiplicação por escalar:
Vamos testar essas propriedades.

Passo 3

Vamos checar a adição vetorial. Sejam f(u + v) = f(x1 + x2, y1 + y2) = (3(x1 + x2) + (y1 + y2), (x1 + x2) - 2(y1 + y2)) e = (3x1 + 3x2 + y1 + y2, x1 + x2 - 2y1 - 2y2) . Então:
f(u) + f(v) = (3x1 + y1, x1 - 2y1) + (3x2 + y2, x2 - 2y2) = (3x1 + y1 + 3x2 + y2, x1 - 2y1 + x2 - 2y2)
Agora, calculando :
Vemos que . Então, a propriedade da adição vetorial é satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a multiplicação por escalar. Seja f(cu) = f(cx, cy) = (3(cx) + (cy), (cx) - 2(cy)) = (3c x + c y, c x - 2c y) = c(3x + y, x - 2y) = c f(u) um escalar e :
Então, a propriedade da multiplicação por escalar também é satisfeita. Portanto, a função é linear.

Passo 5

Como a função é linear, podemos encontrar sua matriz associada. Em transformação linear de A = 3 & 1 1 & -2 para , a matriz é formada pelos coeficientes de e em cada componente da função.
Para , a matriz é:

Passo 6

Vamos agora determinar se a matriz det(A) = (3)(-2) - (1)(1) = -6 -1 = -7 neq 0 é injetora ou sobrejetora. Para isso, verificamos se a matriz é invertível. Uma matriz é invertível se seu determinante for diferente de zero.
Calculando o determinante de :
Como o determinante é diferente de zero, é invertível. Portanto, a transformação é:
  • Injetora: Sim, porque o núcleo contém apenas o vetor zero.
  • Sobrejetora: Sim, porque a imagem é todo o espaço .

Passo 7

Vamos determinar o núcleo e a imagem da transformação.
  • Núcleo (Ker(f)): É o conjunto de vetores 3x + y = 0 x - 2y = 0 tais que .
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação: .
Substituindo na primeira equação: , então .
Portanto, o núcleo é apenas o vetor zero: .
  • Imagem (Im(f)): Como a matriz é invertível, a imagem é todo .

Resposta

A função A = 3 & 1 1 & -2 é linear. Sua matriz associada é:
A transformação é injetora e sobrejetora, já que a matriz é invertível (determinante diferente de zero). O núcleo da transformação é e a imagem é .

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