Verifique se as funções abaixo de
em
são lineares. Em caso afirmativo, determine suas matrizes. Além disso, classifique-as como injetoras ou sobrejetoras, determine núcleo e imagem
a)
;
b)
;
c)
;
d)
;
e)
;
f)
;
g)
;
h)
;
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada na primeira função:
. A questão pede para a gente verificar se essa função é linear, encontrar sua matriz se for, identificar se é injetora ou sobrejetora, e determinar o núcleo e a imagem dela. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função linear, como encontrar a matriz de uma transformação linear, e como determinar injetividade, sobrejetividade, núcleo e imagem.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função
é linear. Uma função é linear se ela satisfaz duas propriedades básicas:
- Adição vetorial:
- Multiplicação por escalar:
Vamos testar essas propriedades.
Passo 3
Vamos checar a adição vetorial. Sejam
e
. Então:
Agora, calculando
:
Vemos que
. Então, a propriedade da adição vetorial é satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a multiplicação por escalar. Seja
um escalar e
:
Então, a propriedade da multiplicação por escalar também é satisfeita. Portanto, a função
é linear.
Passo 5
Como a função é linear, podemos encontrar sua matriz associada. Em transformação linear de
para
, a matriz
é formada pelos coeficientes de
e
em cada componente da função.
Para
, a matriz
é:
Passo 6
Vamos agora determinar se a matriz
é injetora ou sobrejetora. Para isso, verificamos se a matriz é invertível. Uma matriz é invertível se seu determinante for diferente de zero.
Calculando o determinante de
:
Como o determinante é diferente de zero,
é invertível. Portanto, a transformação é:
- Injetora: Sim, porque o núcleo contém apenas o vetor zero.
- Sobrejetora: Sim, porque a imagem é todo o espaço
.
Passo 7
Vamos determinar o núcleo e a imagem da transformação.
- Núcleo (Ker(f)): É o conjunto de vetores
tais que .
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
.
Substituindo na primeira equação:
→
→
, então
.
Portanto, o núcleo é apenas o vetor zero:
.
- Imagem (Im(f)): Como a matriz é invertível, a imagem é todo
.
Resposta
A função
é linear. Sua matriz associada é:
A transformação é injetora e sobrejetora, já que a matriz
é invertível (determinante diferente de zero). O núcleo da transformação é
e a imagem é
.