Verifique se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas. Justifique.
Todo conjunto LI de vetores é uma base de seu sub espaço gerado.
Todo conjunto LI de vetores é uma base de seu sub espaço gerado.
Passo 1
Beleza, vamos analisar o enunciado: “Todo conjunto LI (linearmente independente) de vetores é uma base de seu subespaço gerado.” A matéria envolve Álgebra Linear, especificamente os conceitos de independência linear, geração de subespaço e base. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente e como isso se relaciona com ser uma base para o subespaço que eles geram.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é independência linear. Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Isso significa que, se a única solução para a combinação linear igual a zero for todos os coeficientes serem zero, então os vetores são LI.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o que é uma base. Uma base de um subespaço é um conjunto de vetores que são tanto linearmente independentes quanto geram todo o subespaço. “Gerar” significa que qualquer vetor no subespaço pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base.
Passo 4
Dado que o conjunto de vetores é linearmente independente, restando verificar se eles geram o subespaço. Pelo enunciado, o subespaço é exatamente o “subespaço gerado” por esse conjunto de vetores. Portanto, os vetores não apenas são LI, mas também geram o subespaço, atendendo aos dois requisitos para ser uma base.
Resposta
Verdadeiro. Qualquer conjunto de vetores linearmente independente que gera um subespaço é, por definição, uma base desse subespaço.
Exercícios relacionados
Mostre detalhadamente que se
for um anel de integridade c
for tal que
, então
ou
.
Determine a matriz de passagem da base
para a base
:
(d)
(d)
Dentre as transformações
definidas pelas seguintes leis, verificar quais são lineares:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Nos ítens abaixo, o vetor
está escrito na base
. Reescreva-o na base V
(e) .
(e)