Verifique se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas. Justifique.
Todo conjunto LI de vetores é uma base de seu sub espaço gerado.
Todo conjunto LI de vetores é uma base de seu sub espaço gerado.
Passo 1
Beleza, vamos analisar o enunciado: “Todo conjunto LI (linearmente independente) de vetores é uma base de seu subespaço gerado.” A matéria envolve Álgebra Linear, especificamente os conceitos de independência linear, geração de subespaço e base. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente e como isso se relaciona com ser uma base para o subespaço que eles geram.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é independência linear. Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Isso significa que, se a única solução para a combinação linear igual a zero for todos os coeficientes serem zero, então os vetores são LI.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o que é uma base. Uma base de um subespaço é um conjunto de vetores que são tanto linearmente independentes quanto geram todo o subespaço. “Gerar” significa que qualquer vetor no subespaço pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base.
Passo 4
Dado que o conjunto de vetores é linearmente independente, restando verificar se eles geram o subespaço. Pelo enunciado, o subespaço é exatamente o “subespaço gerado” por esse conjunto de vetores. Portanto, os vetores não apenas são LI, mas também geram o subespaço, atendendo aos dois requisitos para ser uma base.
Resposta
Verdadeiro. Qualquer conjunto de vetores linearmente independente que gera um subespaço é, por definição, uma base desse subespaço.