Mostre detalhadamente que se for um anel de integridade c for tal que , então ou .

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para mostrar que, em um anel de integridade , se um elemento satisfaz , então necessariamente ou . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra abstrata, especificamente sobre anéis e propriedades de domínios de integridade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um anel de integridade. Um anel é chamado de domínio de integridade se ele não possui divisores de zero, ou seja, se para quaisquer elementos , implica que ou .

Passo 3

Agora, consideramos um elemento que satisfaz a equação . Nosso objetivo é provar que deve ser igual a 1 ou a -1.

Passo 4

Vamos reescrever a equação de uma forma que facilite a análise:
Isso pode ser fatorado usando a diferença de quadrados:

Passo 5

Como é um domínio de integridade, sabemos que se o produto de dois elementos é zero, então pelo menos um dos fatores deve ser zero. Aplicando essa propriedade à equação fatorada:

Passo 6

Resolvendo cada uma dessas equações:

Resposta

Portanto, se é um anel de integridade e , então ou .

Exercícios relacionados

Determine a matriz de passagem da base para a base :
(d)
Verifique se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas. Justifique.
é um plano no que passa pela origem.
Verifique se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas. Justifique.
Todo conjunto LI de vetores é uma base de seu sub espaço gerado.
Dentre as transformações definidas pelas seguintes leis, verificar quais são lineares:
a)
b)
c)
d)
e)
f)