Mostre detalhadamente que se A for um anel de integridade c a in A for tal que a^2=1, então a=1 ou a=-1.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para mostrar que, em um anel de integridade , se um elemento satisfaz , então necessariamente ou . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra abstrata, especificamente sobre anéis e propriedades de domínios de integridade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um anel de integridade. Um anel é chamado de domínio de integridade se ele não possui divisores de zero, ou seja, se para quaisquer elementos , implica que ou .

Passo 3

Agora, consideramos um elemento que satisfaz a equação . Nosso objetivo é provar que deve ser igual a 1 ou a -1.

Passo 4

Vamos reescrever a equação a^2 - 1 = 0 de uma forma que facilite a análise:
(a - 1)(a + 1) = 0
Isso pode ser fatorado usando a diferença de quadrados:

Passo 5

Como (a - 1) = 0 ou (a + 1) = 0 é um domínio de integridade, sabemos que se o produto de dois elementos é zero, então pelo menos um dos fatores deve ser zero. Aplicando essa propriedade à equação fatorada:

Passo 6

Resolvendo cada uma dessas equações:
a - 1 = 0 implies a = 1
a + 1 = 0 implies a = -1

Resposta

Portanto, se é um anel de integridade e , então ou .

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