Mostre detalhadamente que se
for um anel de integridade c
for tal que
, então
ou
.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para mostrar que, em um anel de integridade
, se um elemento
satisfaz
, então necessariamente
ou
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra abstrata, especificamente sobre anéis e propriedades de domínios de integridade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um anel de integridade. Um anel
é chamado de domínio de integridade se ele não possui divisores de zero, ou seja, se para quaisquer elementos
,
implica que
ou
.
Passo 3
Agora, consideramos um elemento
que satisfaz a equação
. Nosso objetivo é provar que
deve ser igual a 1 ou a -1.
Passo 4
Vamos reescrever a equação
de uma forma que facilite a análise:
Isso pode ser fatorado usando a diferença de quadrados:
Passo 5
Como
é um domínio de integridade, sabemos que se o produto de dois elementos é zero, então pelo menos um dos fatores deve ser zero. Aplicando essa propriedade à equação fatorada:
Passo 6
Resolvendo cada uma dessas equações:
Resposta
Portanto, se
é um anel de integridade e
, então
ou
.
Exercícios relacionados
Determine a matriz de passagem da base
para a base
:
(d)
(d)
Verifique se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas. Justifique.
é um plano no
que passa pela origem.
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Todo conjunto LI de vetores é uma base de seu sub espaço gerado.
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Dentre as transformações
definidas pelas seguintes leis, verificar quais são lineares:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
a)
b)
c)
d)
e)
f)