Dentre os três pares de planos abaixo diga quais săo perpendiculares e quais soo paralelos, justificando sua resposta. O ângulo entre dois planos e o o angulo entre seus velomes normais.
Se tiver um par de planos paralelos, calcule a distancia entre eles.
Se tiver um par de planos que não sejam paralelos nem perpendiculares, calcule obn entre eles.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três pares de planos e precisamos identificar para cada par se os planos são perpendiculares, paralelos ou nenhum dos dois. Se forem paralelos, vamos calcular a distância entre eles. Se não forem nem paralelos nem perpendiculares, vamos calcular o ângulo entre eles. Para fazer isso, vamos usar conceitos de vetores normais e ângulos entre vetores.
Passo 2
Vamos começar analisando o primeiro par de planos:
Planejamento A:
Planejamento B:
Primeiro, identificamos os vetores normais desses planos. O vetor normal de um plano é .
Para o plano A, o vetor normal é .
Para o plano B, como a equação é , o vetor normal é .
Passo 3
Agora, vamos verificar se os planos são perpendiculares ou paralelos.
Dois vetores são perpendiculares se o produto interno entre eles for zero. O produto interno é dado por:
Como 5 ≠ 0, os vetores normais não são perpendiculares, então os planos não são perpendiculares.
Para verificar se são paralelos, os vetores normais precisam ser proporcionais, ou seja, um vetor é múltiplo do outro. Verificando:
e
Não há um escalar que multiplique todos os componentes de para obter , então os planos não são paralelos.
Passo 4
Como os planos não são nem perpendiculares nem paralelos, vamos calcular o ângulo entre eles. O ângulo entre dois vetores pode ser encontrado pela fórmula:
Já calculamos o produto interno .
Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores:
Então,
Agora, calculamos o ângulo:
Passo 5
Vamos para o segundo par de planos:
Planejamento C:
Planejamento D:
Encontramos os vetores normais:
Passo 6
Verificamos se são perpendiculares:
Como o produto interno é zero, os vetores são perpendiculares. Portanto, os planos são perpendiculares.
Passo 7
Como os planos são perpendiculares, não precisamos calcular a distância ou o ângulo entre eles. Passamos para o próximo par.
Passo 8
Agora, analisamos o terceiro par de planos:
Planejamento E:
Planejamento F:
Identificamos os vetores normais:
Passo 9
Primeiro, verificamos se são paralelos. Vemos que , ou seja, . Como um vetor é múltiplo do outro, os planos são paralelos.
Passo 10
Como os planos são paralelos, vamos calcular a distância entre eles. A fórmula para a distância entre dois planos paralelos e é:
Precisamos escrever as equações na forma padrão. O plano F está atualmente . Mas queremos que os coeficientes sejam iguais aos do plano E. Vendo que , ajustamos o plano F dividindo por -2:
Agora, temos:
Plano E:
Plano F ajustado:
Calculamos a distância:
Resposta
Primeiro par de planos: Não são perpendiculares nem paralelos. O ângulo entre eles é aproximadamente .
Segundo par de planos: São perpendiculares.
Terceiro par de planos: São paralelos e a distância entre eles é aproximadamente unidades.