Dentre os três pares de planos abaixo diga quais săo perpendiculares e quais soo paralelos, justificando sua resposta. O ângulo entre dois planos e o o angulo entre seus velomes normais.
Se tiver um par de planos paralelos, calcule a distancia entre eles.
Se tiver um par de planos que não sejam paralelos nem perpendiculares, calcule obn entre eles.
l 3 x-y+z-4=0, x+2 z=-1 x-2 y+3 z=4,-2 x+5 y+4 z=-1 2 x-y-z=5 e-4 x+2 y+2 z=12

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três pares de planos e precisamos identificar para cada par se os planos são perpendiculares, paralelos ou nenhum dos dois. Se forem paralelos, vamos calcular a distância entre eles. Se não forem nem paralelos nem perpendiculares, vamos calcular o ângulo entre eles. Para fazer isso, vamos usar conceitos de vetores normais e ângulos entre vetores.

Passo 2

Vamos começar analisando o primeiro par de planos:
Planejamento A:
Planejamento B:
Primeiro, identificamos os vetores normais desses planos. O vetor normal de um plano é .
Para o plano A, o vetor normal é .
Para o plano B, como a equação é , o vetor normal é .

Passo 3

Agora, vamos verificar se os planos são perpendiculares ou paralelos.
Dois vetores são perpendiculares se o produto interno entre eles for zero. O produto interno é dado por:
nA cdot nB = 3 times 1 + (-1) times 0 + 1 times 2 = 3 + 0 + 2 = 5
Como 5 ≠ 0, os vetores normais não são perpendiculares, então os planos não são perpendiculares.
Para verificar se são paralelos, os vetores normais precisam ser proporcionais, ou seja, um vetor é múltiplo do outro. Verificando:
e
Não há um escalar que multiplique todos os componentes de para obter , então os planos não são paralelos.

Passo 4

Como os planos não são nem perpendiculares nem paralelos, vamos calcular o ângulo entre eles. O ângulo cos theta = nA cdot nB|nA| cdot |nB| entre dois vetores pode ser encontrado pela fórmula:
|nA| = raiz3^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz9 + 1 + 1 = raiz11
Já calculamos o produto interno |nB| = raiz1^2 + 0^2 + 2^2 = raiz1 + 0 + 4 = raiz5 .
Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores:
cos theta = 5raiz11 cdot raiz5 = 5raiz55 = 5raiz5555 = raiz5511
theta = arccos(raiz5511) approx 33,69^circ
Então,
Agora, calculamos o ângulo:

Passo 5

Vamos para o segundo par de planos:
Planejamento C:
Planejamento D:
Encontramos os vetores normais:

Passo 6

Verificamos se são perpendiculares:
nC cdot nD = 1 times (-2) + (-2) times 5 + 3 times 4 = -2 -10 +12 = 0
Como o produto interno é zero, os vetores são perpendiculares. Portanto, os planos são perpendiculares.

Passo 7

Como os planos são perpendiculares, não precisamos calcular a distância ou o ângulo entre eles. Passamos para o próximo par.

Passo 8

Agora, analisamos o terceiro par de planos:
Planejamento E:
Planejamento F:
Identificamos os vetores normais:

Passo 9

Primeiro, verificamos se são paralelos. Vemos que , ou seja, . Como um vetor é múltiplo do outro, os planos são paralelos.

Passo 10

Como os planos são paralelos, vamos calcular a distância entre eles. A fórmula para a distância entre dois planos paralelos d = |D2 - D1|raizA^2 + B^2 + C^2 e -4x + 2y + 2z-2 = 12-2 Rightarrow 2x - y - z = -6 é:
d = |(-6) - 5|raiz2^2 + (-1)^2 + (-1)^2 = 11raiz4 + 1 + 1 = 11raiz6 = 11raiz66 approx 4,49
Precisamos escrever as equações na forma padrão. O plano F está atualmente . Mas queremos que os coeficientes sejam iguais aos do plano E. Vendo que , ajustamos o plano F dividindo por -2:
Agora, temos:
Plano E:
Plano F ajustado:
Calculamos a distância:

Resposta

  1. Primeiro par de planos: Não são perpendiculares nem paralelos. O ângulo entre eles é aproximadamente .
  2. Segundo par de planos: São perpendiculares.
  3. Terceiro par de planos: São paralelos e a distância entre eles é aproximadamente unidades.

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