Determine a equação do plano que contem o ponto A=(3,-1,2) e e perpendiciatar so vetor n=(4,3,2).
Em seguida determine as equaçōes paramétricas da reta que passa pelo ponto A cdot t perpendicular ao plano que vocé determinou.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos a equação de um plano que contém o ponto A=(3,-1,2) e é perpendicular ao vetor n=(4,3,2). Além disso, depois, queremos achar as equações paramétricas de uma reta que passa por A e é perpendicular a esse plano. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como a equação do plano e equações de reta no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a equação geral de um plano. Se temos um vetor normal ao plano, n = (a, b, c), e um ponto qualquer no plano, P0 = (x0, y0, z0), a equação do plano pode ser escrita assim:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Nesse caso, temos o vetor normal n=(4,3,2) e o ponto A=(3,-1,2), então podemos substituir esses valores na equação.

Passo 3

Vamos substituir os valores na equação do plano:
4(x - 3) + 3(y + 1) + 2(z - 2) = 0
Agora, vamos simplificar essa expressão para deixar a equação mais clara.

Passo 4

Expandindo os termos:
4x - 12 + 3y + 3 + 2z - 4 = 0
Agora, somamos os termos constantes:
4x + 3y + 2z - 13 = 0
Essa é a equação do plano que contém o ponto A e é perpendicular ao vetor n.

Passo 5

Agora, vamos encontrar as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto A=(3,-1,2) e é perpendicular ao plano que determinamos. Uma reta perpendicular ao plano terá a mesma direção do vetor normal n, ou seja, a direção da reta será dada por n=(4,3,2).

Passo 6

As equações paramétricas de uma reta no espaço são dadas por:
x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct
Onde (x0, y0, z0) é um ponto na reta e (a, b, c) é o vetor diretor da reta. Nesse caso, nosso ponto A=(3,-1,2) e o vetor diretor é n=(4,3,2).

Passo 7

Substituindo os valores, temos:
x = 3 + 4t y = -1 + 3t z = 2 + 2t
Essas são as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto A e é perpendicular ao plano determinado.

Resposta

A equação do plano é 4x + 3y + 2z - 13 = 0 e as equações paramétricas da reta são:
x = 3 + 4t y = -1 + 3t z = 2 + 2t

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