Determine a equação do plano que contem o ponto e e perpendiciatar so vetor .
Em seguida determine as equaçōes paramétricas da reta que passa pelo ponto perpendicular ao plano que vocé determinou.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos a equação de um plano que contém o ponto e é perpendicular ao vetor . Além disso, depois, queremos achar as equações paramétricas de uma reta que passa por e é perpendicular a esse plano. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como a equação do plano e equações de reta no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a equação geral de um plano. Se temos um vetor normal ao plano, , e um ponto qualquer no plano, , a equação do plano pode ser escrita assim:
Nesse caso, temos o vetor normal e o ponto , então podemos substituir esses valores na equação.
Passo 3
Vamos substituir os valores na equação do plano:
Agora, vamos simplificar essa expressão para deixar a equação mais clara.
Passo 4
Expandindo os termos:
Agora, somamos os termos constantes:
Essa é a equação do plano que contém o ponto e é perpendicular ao vetor .
Passo 5
Agora, vamos encontrar as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto e é perpendicular ao plano que determinamos. Uma reta perpendicular ao plano terá a mesma direção do vetor normal , ou seja, a direção da reta será dada por .
Passo 6
As equações paramétricas de uma reta no espaço são dadas por:
Onde (x0, y0, z0) é um ponto na reta e (a, b, c) é o vetor diretor da reta. Nesse caso, nosso ponto A=(3,-1,2) e o vetor diretor é n=(4,3,2).
Passo 7
Substituindo os valores, temos:
x = 3 + 4t y = -1 + 3t z = 2 + 2t
Essas são as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto A e é perpendicular ao plano determinado.
Resposta
A equação do plano é 4x + 3y + 2z - 13 = 0 e as equações paramétricas da reta são: