Seja . Verifique que é um espaço vetorial sobre com dimensão 3. Seja a aplicação derivada, i.e., é a derivada de . Escolha uma base ordenada para e calcule nesta base.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um conjunto . A questão quer que a gente mostre que é um espaço vetorial sobre os números reais com dimensão 3. Depois, precisamos trabalhar com a derivada como uma aplicação linear nesse espaço, escolher uma base e calcular essa aplicação nessa base. Para isso, vamos usar conceitos de espaços vetoriais, bases, dimensões e aplicações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se é de fato um espaço vetorial. Isso significa que precisamos ver se ele satisfaz todas as propriedades de um espaço vetorial sobre . A gente sabe que funções que são combinações lineares de funções básicas formam um espaço vetorial se essas funções básicas forem independentes e fechadas sob adição e multiplicação por escalar.

Passo 3

Vamos checar a independência linear das funções , e . Suponha que exista uma combinação linear não trivial dessas funções que dá zero:
Para isso ser verdade para todo , os coeficientes , e devem ser zero. Isso mostra que as funções são linearmente independentes.

Passo 4

Como temos três funções linearmente independentes que geram , concluímos que é um espaço vetorial de dimensão 3 sobre .

Passo 5

Agora, vamos definir a aplicação derivada , onde é a derivada de . Precisamos escolher uma base ordenada para para calcular nessa base.

Passo 6

Vamos escolher a base ordenada . Essa escolha é conveniente porque facilita o cálculo das derivadas das funções base.

Passo 7

Vamos aplicar a derivada a cada função da base:

Passo 8

Agora, expressamos cada derivada como uma combinação linear das funções da base :

Passo 9

Com esses coeficientes, podemos montar a matriz da aplicação derivada na base . Cada coluna da matriz corresponde aos coeficientes das derivadas das funções base.

Passo 10

A matriz de na base fica assim:

Resposta

A matriz da aplicação derivada na base ordenada é:

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Mostre que o conjunto de todos os vetores de ordem com primeira coordenada nula forma um espaço vetorial em relação às operações usuais de adição e multiplicação por escalar de -uplas.
Se é uma transformação linear tal que e
Observem que os vetores formam uma base (ortogonal) de . é injetora? T é sobrejetora? Justifique.
Seja a transformação linear Ax dada pela matriz abaixo. Seja . Calcule uma base para .
Dentre os três pares de planos abaixo diga quais săo perpendiculares e quais soo paralelos, justificando sua resposta. O ângulo entre dois planos e o o angulo entre seus velomes normais.
Se tiver um par de planos paralelos, calcule a distancia entre eles.
Se tiver um par de planos que não sejam paralelos nem perpendiculares, calcule obn entre eles.