Seja E=a cos (x)+b sin (x)+c^-x ; a, b, c in R. Verifique que E é um espaço vetorial sobre R com dimensão 3. Seja D: E E a aplicação derivada, i.e., D(h) é a derivada de h. Escolha uma base ordenada para E e calcule D nesta base.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um conjunto E = a cos (x) + b sin (x) + c e^-x ;, a, b, c in R. A questão quer que a gente mostre que E é um espaço vetorial sobre os números reais com dimensão 3. Depois, precisamos trabalhar com a derivada como uma aplicação linear nesse espaço, escolher uma base e calcular essa aplicação nessa base. Para isso, vamos usar conceitos de espaços vetoriais, bases, dimensões e aplicações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se E é de fato um espaço vetorial. Isso significa que precisamos ver se ele satisfaz todas as propriedades de um espaço vetorial sobre R. A gente sabe que funções que são combinações lineares de funções básicas formam um espaço vetorial se essas funções básicas forem independentes e fechadas sob adição e multiplicação por escalar.

Passo 3

Vamos checar a independência linear das funções cos(x), sin(x) e e^-x. Suponha que exista uma combinação linear não trivial dessas funções que dá zero:
k1 cos(x) + k2 sin(x) + k3 e^-x = 0 para todo x
Para isso ser verdade para todo x, os coeficientes k1, k2 e k3 devem ser zero. Isso mostra que as funções são linearmente independentes.

Passo 4

Como temos três funções linearmente independentes que geram E, concluímos que E é um espaço vetorial de dimensão 3 sobre R.

Passo 5

Agora, vamos definir a aplicação derivada D: E E, onde D(h) é a derivada de h. Precisamos escolher uma base ordenada para E para calcular D nessa base.

Passo 6

Vamos escolher a base ordenada B = cos(x), sin(x), e^-x. Essa escolha é conveniente porque facilita o cálculo das derivadas das funções base.

Passo 7

Vamos aplicar a derivada a cada função da base:
  1. D(cos(x)) = -sin(x)
  2. D(sin(x)) = cos(x)
  3. D(e^-x) = -e^-x

Passo 8

Agora, expressamos cada derivada como uma combinação linear das funções da base B:
  1. D(cos(x)) = 0 cdot cos(x) - 1 cdot sin(x) + 0 cdot e^-x
  2. D(sin(x)) = 1 cdot cos(x) + 0 cdot sin(x) + 0 cdot e^-x
  3. D(e^-x) = 0 cdot cos(x) + 0 cdot sin(x) - 1 cdot e^-x

Passo 9

Com esses coeficientes, podemos montar a matriz da aplicação derivada D na base B. Cada coluna da matriz corresponde aos coeficientes das derivadas das funções base.

Passo 10

A matriz de D na base B fica assim:
[D]B = 0 & 1 & 0 -1 & 0 & 0 0 & 0 & -1

Resposta

A matriz da aplicação derivada D na base ordenada cos(x), sin(x), e^-x é:
[D]B = 0 & 1 & 0 -1 & 0 & 0 0 & 0 & -1

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