Seja . Verifique que é um espaço vetorial sobre com dimensão 3. Seja a aplicação derivada, i.e., é a derivada de . Escolha uma base ordenada para e calcule nesta base.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um conjunto . A questão quer que a gente mostre que é um espaço vetorial sobre os números reais com dimensão 3. Depois, precisamos trabalhar com a derivada como uma aplicação linear nesse espaço, escolher uma base e calcular essa aplicação nessa base. Para isso, vamos usar conceitos de espaços vetoriais, bases, dimensões e aplicações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se é de fato um espaço vetorial. Isso significa que precisamos ver se ele satisfaz todas as propriedades de um espaço vetorial sobre . A gente sabe que funções que são combinações lineares de funções básicas formam um espaço vetorial se essas funções básicas forem independentes e fechadas sob adição e multiplicação por escalar.
Passo 3
Vamos checar a independência linear das funções , e . Suponha que exista uma combinação linear não trivial dessas funções que dá zero:
Para isso ser verdade para todo , os coeficientes , e devem ser zero. Isso mostra que as funções são linearmente independentes.
Passo 4
Como temos três funções linearmente independentes que geram , concluímos que é um espaço vetorial de dimensão 3 sobre .
Passo 5
Agora, vamos definir a aplicação derivada , onde é a derivada de . Precisamos escolher uma base ordenada para para calcular nessa base.
Passo 6
Vamos escolher a base ordenada . Essa escolha é conveniente porque facilita o cálculo das derivadas das funções base.
Passo 7
Vamos aplicar a derivada a cada função da base:
Passo 8
Agora, expressamos cada derivada como uma combinação linear das funções da base :
Passo 9
Com esses coeficientes, podemos montar a matriz da aplicação derivada na base . Cada coluna da matriz corresponde aos coeficientes das derivadas das funções base.
Passo 10
A matriz de na base fica assim:
Resposta
A matriz da aplicação derivada na base ordenada é: