Verifique que é uma transformação linear e calcule a dimensão da imagem de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a transformação definida de matrizes para matrizes é linear. Além disso, precisamos calcular a dimensão da imagem dessa transformação. Para isso, vamos lembrar que transformações lineares precisam respeitar duas propriedades: aditividade e homogeneidade. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação linear. Uma função é linear se, para quaisquer matrizes e e qualquer escalar , as seguintes propriedades são verdadeiras:
Aditividade:
Homogeneidade:
Vamos verificar essas duas propriedades para a transformação dada.
Passo 3
Verificando a Aditividade:
Sejam duas matrizes qualquer e em :
Primeiro, calculamos :
Aplicando :
Simplificando:
Agora, calculamos :
Somando :
Observamos que , então a propriedade de aditividade está satisfeita.
Passo 4
Verificando a Homogeneidade:
Vamos considerar um escalar e uma matriz em :
Aplicando :
Isso mostra que , então a propriedade de homogeneidade também é satisfeita.
Passo 5
Como verificamos que satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, podemos concluir que é uma transformação linear.
Agora, vamos calcular a dimensão da imagem de , ou seja, o espaço gerado pelas possíveis saídas de .
Passo 6
Para encontrar a dimensão da imagem de , precisamos determinar o número de vetores linearmente independentes na imagem. Vamos representar de forma matricial.
Dada uma matriz em , os elementos de são:
Podemos reescrever isso como uma combinação linear das variáveis :
Assim, a imagem de é gerada pelas matrizes:
Vamos verificar a independência linear dessas matrizes.
Passo 7
Para verificar a independência linear, consideramos a combinação:
Isso resulta no sistema de equações:
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
Da terceira equação: →
Da quarta equação: . Substituindo :
Então, e
Da primeira equação: , que é sempre verdadeiro.
Isso mostra que e . Portanto, as únicas soluções são e . Logo, as matrizes são linearmente independentes.
Passo 8
Como temos 4 matrizes linearmente independentes na imagem de , a dimensão da imagem de é 4.
Resposta
A transformação é linear e a dimensão da sua imagem é 4.