Seja T: R^2 times 3 R^2 times 2 dada por
T((lll a1 & a2 & a3 a4 & a5 & a6 ))=(cc 2(a1-a4)+a3 & a2-a3 a1-a2-a4 & a1+a3-a4 )
Verifique que T é uma transformação linear e calcule a dimensão da imagem de T.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a transformação definida de matrizes para matrizes é linear. Além disso, precisamos calcular a dimensão da imagem dessa transformação. Para isso, vamos lembrar que transformações lineares precisam respeitar duas propriedades: aditividade e homogeneidade. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação linear. Uma função é linear se, para quaisquer matrizes e e qualquer escalar , as seguintes propriedades são verdadeiras:
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade:
Vamos verificar essas duas propriedades para a transformação dada.

Passo 3

Verificando a Aditividade:
Sejam duas matrizes qualquer A = a1 & a2 & a3 a4 & a5 & a6 , B = b1 & b2 & b3 b4 & b5 & b6 e A + B = a1+b1 & a2+b2 & a3+b3 a4+b4 & a5+b5 & a6+b6 em T(A + B) = 2((a1+b1) - (a4+b4)) + (a3+b3) & (a2+b2) - (a3+b3) (a1+b1) - (a2+b2) - (a4+b4) & (a1+b1) + (a3+b3) - (a4+b4) :
T(A + B) = 2(a1 - a4) + 2b1 - 2b4 + a3 + b3 & a2 - a3 + b2 - b3 a1 - a2 - a4 + b1 - b2 - b4 & a1 + a3 - a4 + b1 + b3 - b4
Primeiro, calculamos T(A) = 2(a1 - a4) + a3 & a2 - a3 a1 - a2 - a4 & a1 + a3 - a4 , T(B) = 2(b1 - b4) + b3 & b2 - b3 b1 - b2 - b4 & b1 + b3 - b4 :
T(A) + T(B) = 2(a1 - a4) + a3 + 2(b1 - b4) + b3 & (a2 - a3) + (b2 - b3) (a1 - a2 - a4) + (b1 - b2 - b4) & (a1 + a3 - a4) + (b1 + b3 - b4)
Aplicando :
Simplificando:
Agora, calculamos :
Somando :
Observamos que , então a propriedade de aditividade está satisfeita.

Passo 4

Verificando a Homogeneidade:
Vamos considerar um escalar kA = k a1 & k a2 & k a3 k a4 & k a5 & k a6 e uma matriz T(kA) = 2(k a1 - k a4) + k a3 & k a2 - k a3 k a1 - k a2 - k a4 & k a1 + k a3 - k a4 = k 2(a1 - a4) + a3 & a2 - a3 a1 - a2 - a4 & a1 + a3 - a4 = k T(A) em :
Aplicando :
Isso mostra que , então a propriedade de homogeneidade também é satisfeita.

Passo 5

Como verificamos que satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, podemos concluir que é uma transformação linear.
Agora, vamos calcular a dimensão da imagem de , ou seja, o espaço gerado pelas possíveis saídas de .

Passo 6

Para encontrar a dimensão da imagem de T(A) = 2(a1 - a4) + a3 & a2 - a3 a1 - a2 - a4 & a1 + a3 - a4 , precisamos determinar o número de vetores linearmente independentes na imagem. Vamos representar T(A) = a1 2 & 0 1 & 1 + a2 0 & 1 -1 & 0 + a3 1 & -1 0 & 1 + a4 -2 & 0 -1 & -1 de forma matricial.
Dada uma matriz M1 = 2 & 0 1 & 1 , M2 = 0 & 1 -1 & 0 , M3 = 1 & -1 0 & 1 , M4 = -2 & 0 -1 & -1 em , os elementos de são:
Podemos reescrever isso como uma combinação linear das variáveis :
Assim, a imagem de é gerada pelas matrizes:
Vamos verificar a independência linear dessas matrizes.

Passo 7

Para verificar a independência linear, consideramos a combinação:
c1 M1 + c2 M2 + c3 M3 + c4 M4 = 0
Isso resulta no sistema de equações:
2c1 + c3 - 2c4 = 0 c2 - c3 = 0 c1 - c2 + 0c3 - c4 = 0 c1 + c3 - c4 = 0
Resolvendo o sistema:
  1. Da segunda equação: c3 + c4 + c3 - c4 = 0 Rightarrow 2c3 = 0 Rightarrow c3 = 0
  2. Da terceira equação:
  3. Da quarta equação: . Substituindo :
  1. Então, e
  2. Da primeira equação: , que é sempre verdadeiro.
Isso mostra que e . Portanto, as únicas soluções são e . Logo, as matrizes são linearmente independentes.

Passo 8

Como temos 4 matrizes linearmente independentes na imagem de , a dimensão da imagem de é 4.

Resposta

A transformação é linear e a dimensão da sua imagem é 4.

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