Seja dada por
Verifique que é uma transformação linear e calcule a dimensão da imagem de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a transformação definida de matrizes para matrizes é linear. Além disso, precisamos calcular a dimensão da imagem dessa transformação. Para isso, vamos lembrar que transformações lineares precisam respeitar duas propriedades: aditividade e homogeneidade. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação linear. Uma função é linear se, para quaisquer matrizes e e qualquer escalar , as seguintes propriedades são verdadeiras:
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade:
Vamos verificar essas duas propriedades para a transformação dada.

Passo 3

Verificando a Aditividade:
Sejam duas matrizes qualquer e em :
Primeiro, calculamos :
Aplicando :
Simplificando:
Agora, calculamos :
Somando :
Observamos que , então a propriedade de aditividade está satisfeita.

Passo 4

Verificando a Homogeneidade:
Vamos considerar um escalar e uma matriz em :
Aplicando :
Isso mostra que , então a propriedade de homogeneidade também é satisfeita.

Passo 5

Como verificamos que satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, podemos concluir que é uma transformação linear.
Agora, vamos calcular a dimensão da imagem de , ou seja, o espaço gerado pelas possíveis saídas de .

Passo 6

Para encontrar a dimensão da imagem de , precisamos determinar o número de vetores linearmente independentes na imagem. Vamos representar de forma matricial.
Dada uma matriz em , os elementos de são:
Podemos reescrever isso como uma combinação linear das variáveis :
Assim, a imagem de é gerada pelas matrizes:
Vamos verificar a independência linear dessas matrizes.

Passo 7

Para verificar a independência linear, consideramos a combinação:
Isso resulta no sistema de equações:
Resolvendo o sistema:
  1. Da segunda equação:
  2. Da terceira equação:
  3. Da quarta equação: . Substituindo :
  1. Então, e
  2. Da primeira equação: , que é sempre verdadeiro.
Isso mostra que e . Portanto, as únicas soluções são e . Logo, as matrizes são linearmente independentes.

Passo 8

Como temos 4 matrizes linearmente independentes na imagem de , a dimensão da imagem de é 4.

Resposta

A transformação é linear e a dimensão da sua imagem é 4.

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