Seja a transformação linear Ax dada pela matriz abaixo. Seja . Calcule uma base para .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma transformação linear definida pela matriz . O problema quer que a gente encontre uma base para o conjunto . Basicamente, é o conjunto de todos os vetores que, quando multiplicados pela matriz , dão o vetor zero. Esse conjunto é chamado de núcleo ou kernel da transformação . Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como sistemas lineares e espaços vetoriais, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação de forma explícita. Suponha que . Então, temos:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Note que a segunda equação não nos dá nenhuma informação, então vamos focar nas outras três.

Passo 3

Agora, vamos simplificar esse sistema para encontrar relações entre as variáveis. Começando pelas equações 1, 3 e 4:
Podemos tentar reduzir esse sistema para encontrar expressões para algumas variáveis em termos das outras.

Passo 4

Vamos resolver a equação 2 para :
Agora, substituímos esse valor de nas equações 1 e 3:
Na equação 1:
Na equação 3:

Passo 5

Agora que temos expressões para e em termos de , podemos substituir de volta:
Então, todas as variáveis estão expressas em termos de , que é um parâmetro livre.

Passo 6

Vamos representar a solução em termos de :
Podemos fatorar :
Isso significa que todos os vetores no núcleo são múltiplos de .

Passo 7

Para simplificar, podemos multiplicar o vetor por 3 para eliminar as frações:
Assim, a base para pode ser representada por .

Resposta

Uma base para é o vetor .

Exercícios relacionados

Seja . Verifique que é um espaço vetorial sobre com dimensão 3. Seja a aplicação derivada, i.e., é a derivada de . Escolha uma base ordenada para e calcule nesta base.
Mostre que o conjunto de todos os vetores de ordem com primeira coordenada nula forma um espaço vetorial em relação às operações usuais de adição e multiplicação por escalar de -uplas.
Dentre os três pares de planos abaixo diga quais săo perpendiculares e quais soo paralelos, justificando sua resposta. O ângulo entre dois planos e o o angulo entre seus velomes normais.
Se tiver um par de planos paralelos, calcule a distancia entre eles.
Se tiver um par de planos que não sejam paralelos nem perpendiculares, calcule obn entre eles.
Seja dada por
Verifique que é uma transformação linear e calcule a dimensão da imagem de .