Seja a transformação linear Ax dada pela matriz abaixo. Seja . Calcule uma base para .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma transformação linear definida pela matriz . O problema quer que a gente encontre uma base para o conjunto . Basicamente, é o conjunto de todos os vetores que, quando multiplicados pela matriz , dão o vetor zero. Esse conjunto é chamado de núcleo ou kernel da transformação . Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como sistemas lineares e espaços vetoriais, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação x y z w de forma explícita. Suponha que A v = 3 & 6 & 1 & 3 0 & 0 & 0 & 0 1 & 1 & 1 & 1 3 & 3 & 2 & 1 x y z w = 3x + 6y + z + 3w 0 x + y + z + w 3x + 3y + 2z + w = 0 0 0 0 . Então, temos:
3x + 6y + z + 3w = 0 0 = 0 x + y + z + w = 0 3x + 3y + 2z + w = 0
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Note que a segunda equação não nos dá nenhuma informação, então vamos focar nas outras três.
Passo 3
Agora, vamos simplificar esse sistema para encontrar relações entre as variáveis. Começando pelas equações 1, 3 e 4:
Podemos tentar reduzir esse sistema para encontrar expressões para algumas variáveis em termos das outras.
Agora, substituímos esse valor de 3(-y - z - w) + 3y + 2z + w = 0 -3y -3z -3w + 3y + 2z + w = 0 ( -3y + 3y ) + ( -3z + 2z ) + ( -3w + w ) = 0 - z -2w = 0 Rightarrow z = -2w nas equações 1 e 3:
Na equação 1:
Na equação 3:
Passo 5
Agora que temos expressões para y = 23z = 23(-2w) = -43w z = -2w x = -y - z - w = -( -43w ) - (-2w) - w = 43w + 2w - w = 43w + w = 73w e em termos de , podemos substituir de volta:
Então, todas as variáveis estão expressas em termos de , que é um parâmetro livre.
Passo 6
Vamos representar a solução em termos de x = 73w y = -43w z = -2w w = w :
x y z w = w 73 -43 -2 1
Podemos fatorar 73 -43 -2 1 :
Isso significa que todos os vetores no núcleo são múltiplos de .
Passo 7
Para simplificar, podemos multiplicar o vetor por 3 para eliminar as frações:
73 -43 -2 1 = 13 7 -4 -6 3
Assim, a base para 7 -4 -6 3 pode ser representada por .