Seja a transformação linear Ax dada pela matriz abaixo. Seja . Calcule uma base para .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma transformação linear definida pela matriz . O problema quer que a gente encontre uma base para o conjunto . Basicamente, é o conjunto de todos os vetores que, quando multiplicados pela matriz , dão o vetor zero. Esse conjunto é chamado de núcleo ou kernel da transformação . Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como sistemas lineares e espaços vetoriais, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação de forma explícita. Suponha que . Então, temos:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Note que a segunda equação não nos dá nenhuma informação, então vamos focar nas outras três.
Passo 3
Agora, vamos simplificar esse sistema para encontrar relações entre as variáveis. Começando pelas equações 1, 3 e 4:
Podemos tentar reduzir esse sistema para encontrar expressões para algumas variáveis em termos das outras.
Passo 4
Vamos resolver a equação 2 para :
Agora, substituímos esse valor de nas equações 1 e 3:
Na equação 1:
Na equação 3:
Passo 5
Agora que temos expressões para e em termos de , podemos substituir de volta:
Então, todas as variáveis estão expressas em termos de , que é um parâmetro livre.
Passo 6
Vamos representar a solução em termos de :
Podemos fatorar :
Isso significa que todos os vetores no núcleo são múltiplos de .
Passo 7
Para simplificar, podemos multiplicar o vetor por 3 para eliminar as frações: