O plano
contém uma folha de cargas distribuidas uniformemente com
. Uma segunda folha, com
, ocupa o plano em
. Determine
e
para
e
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas folhas de carga no espaço: uma no plano
com densidade de carga superficial
e outra no plano
com densidade de carga superficial
. Precisamos determinar as diferenças de potencial elétrico
,
e
entre os pontos
,
e
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletricidade estática, especificamente o cálculo do potencial elétrico devido a folhas de carga infinitas. Precisaremos aplicar a fórmula do campo elétrico criado por uma folha de carga e integrar para encontrar o potencial elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é o campo elétrico gerado por uma folha de carga infinita. A expressão para o campo elétrico
devido a uma folha de carga infinita com densidade superficial
é dada por:
onde
é a permissividade do vácuo (
).
Esse campo elétrico é perpendicular à folha e aponta para fora se a carga for positiva e para dentro se a carga for negativa.
Passo 3
Agora, vamos determinar o campo elétrico total no espaço. Temos duas folhas de carga:
- A primeira folha no plano
com (positiva). - A segunda folha no plano
com (negativa).
Cada folha gera um campo elétrico. Vamos calcular os campos devido a cada folha separadamente:
-
Para a primeira folha (
): O campo gerado por essa folha aponta para cima (no sentido positivo de) acima da folha e para baixo (sentido negativo de ) abaixo da folha. -
Para a segunda folha (
): Como a carga é negativa, o campo gerado aponta para dentro da folha, ou seja, para baixo (sentido negativo de) acima da folha e para cima (sentido positivo de ) abaixo da folha.
Passo 4
Agora, vamos considerar as regiões do espaço definidas pelas duas folhas de carga para determinar o campo elétrico total em cada região:
-
Região I:
- Perto da primeira folha, o campo
aponta para baixo. - Perto da segunda folha, o campo
também aponta para cima (fora da folha negativa). - Campo total:
.
- Perto da primeira folha, o campo
-
Região II:
- Perto da primeira folha, o campo
aponta para cima. - Perto da segunda folha, o campo
aponta para cima. - Campo total:
.
- Perto da primeira folha, o campo
-
Região III:
- Perto da primeira folha, o campo
aponta para cima. - Perto da segunda folha, o campo
aponta para baixo. - Campo total:
.
- Perto da primeira folha, o campo
No entanto, como
, os campos se cancelam em certas regiões. Vamos calcular isso numericamente.
Passo 5
Primeiro, vamos converter as densidades de carga para unidades do Sistema Internacional:
Agora, calculamos os campos elétricos gerados por cada folha:
Passo 6
Agora, vamos determinar o campo elétrico total em cada região:
-
Região I:
-
Região II:
-
Região III:
Portanto, o campo elétrico total é zero na Região II, onde
.
Passo 7
Agora, para encontrar as diferenças de potencial elétrico
,
e
, precisamos calcular o potencial em cada ponto e depois subtrair.
O potencial elétrico
em um ponto é dado pela integral do campo elétrico ao longo de um caminho de referência até o ponto considerado:
Como temos simetria, podemos escolher um caminho vertical (ao longo do eixo
) para simplificar os cálculos.
Vamos calcular o potencial nos pontos
,
e
.
Passo 8
Escolhemos
como referência de potencial zero (
).
-
Calculando
:
está no plano . Como na Região II o campo total é zero, o potencial não muda nessa região. Portanto, o potencial emé o mesmo que no plano . Vamos calcular a diferença de potencial entree : Mas como, precisamos encontrar . Como o campo na Região II é zero, o potencial emé igual ao potencial no infinito na Região I ou III. No entanto, como as folhas são finitas apenas entre e , podemos considerar a continuidade do potencial. De maneira simplificada, dado que o campo na Região II é zero,. -
Calculando
:
está em . Na Região II, o campo total é zero, então o potencial emtambém é igual a , que é zero. Portanto,. -
Calculando
:
Resposta
As diferenças de potencial são:
Exercícios relacionados
Em um sistema equilibrado trifásico Y -delta, a fonte tem uma sequência de fase
rms. A corrente de linha é
rms. Determine a impedância de carga por fase no delta.
Dentro da casca esférica
, a densidade de fluxo elétrico é dada por
. (a) Qual é a densidade volumétrica de carga em
4? (b) Qual é a densidade de fluxo elétrico em
? © Qual fluxo elétrico deixa a esfera
? (d) Qual é a carga contida dentro da esfera
?
Em um sistema trifásico em equilíbrio, a fonte é um Y equilibrado com uma sequência de fase
e
rms. A carga consiste de um
em equilibrio em paralelo com uma carga equilibrada em delta. A impedância de fase da carga em Y é
e a impedância de fase da carga em delta é
. Se a impedância de linha for de
, determine as correntes de linha e as correntes de fase nas cargas.
A magnitude da potência complexa (potência aparente) fornecida por um sistema Y-Y trifásico em equilibrio é 3.600 VA. A tensão de linha é 208 V rms. Se a impedância de linha for desprezível e o ângulo do fator de potência da carga for
, determine a impedância da carga.