O plano contém uma folha de cargas distribuidas uniformemente com . Uma segunda folha, com , ocupa o plano em . Determine e para e .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas folhas de carga no espaço: uma no plano com densidade de carga superficial e outra no plano com densidade de carga superficial . Precisamos determinar as diferenças de potencial elétrico , e entre os pontos , e .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletricidade estática, especificamente o cálculo do potencial elétrico devido a folhas de carga infinitas. Precisaremos aplicar a fórmula do campo elétrico criado por uma folha de carga e integrar para encontrar o potencial elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é o campo elétrico gerado por uma folha de carga infinita. A expressão para o campo elétrico devido a uma folha de carga infinita com densidade superficial é dada por:
onde é a permissividade do vácuo ( ).
Esse campo elétrico é perpendicular à folha e aponta para fora se a carga for positiva e para dentro se a carga for negativa.

Passo 3

Agora, vamos determinar o campo elétrico total no espaço. Temos duas folhas de carga:
  1. A primeira folha no plano com (positiva).
  2. A segunda folha no plano com (negativa).
Cada folha gera um campo elétrico. Vamos calcular os campos devido a cada folha separadamente:
  • Para a primeira folha ( ):
    O campo gerado por essa folha aponta para cima (no sentido positivo de ) acima da folha e para baixo (sentido negativo de ) abaixo da folha.
  • Para a segunda folha ( ):
    Como a carga é negativa, o campo gerado aponta para dentro da folha, ou seja, para baixo (sentido negativo de ) acima da folha e para cima (sentido positivo de ) abaixo da folha.

Passo 4

Agora, vamos considerar as regiões do espaço definidas pelas duas folhas de carga para determinar o campo elétrico total em cada região:
  1. Região I:
    • Perto da primeira folha, o campo aponta para baixo.
    • Perto da segunda folha, o campo também aponta para cima (fora da folha negativa).
    • Campo total: .
  2. Região II:
    • Perto da primeira folha, o campo aponta para cima.
    • Perto da segunda folha, o campo aponta para cima.
    • Campo total: .
  3. Região III:
    • Perto da primeira folha, o campo aponta para cima.
    • Perto da segunda folha, o campo aponta para baixo.
    • Campo total: .
No entanto, como , os campos se cancelam em certas regiões. Vamos calcular isso numericamente.

Passo 5

Primeiro, vamos converter as densidades de carga para unidades do Sistema Internacional:
Agora, calculamos os campos elétricos gerados por cada folha:

Passo 6

Agora, vamos determinar o campo elétrico total em cada região:
  1. Região I:
  2. Região II:
  3. Região III:
Portanto, o campo elétrico total é zero na Região II, onde .

Passo 7

Agora, para encontrar as diferenças de potencial elétrico , e , precisamos calcular o potencial em cada ponto e depois subtrair.
O potencial elétrico em um ponto é dado pela integral do campo elétrico ao longo de um caminho de referência até o ponto considerado:
Como temos simetria, podemos escolher um caminho vertical (ao longo do eixo ) para simplificar os cálculos.
Vamos calcular o potencial nos pontos , e .

Passo 8

Escolhemos como referência de potencial zero ( ).
  1. Calculando :
    está no plano .
    Como na Região II o campo total é zero, o potencial não muda nessa região. Portanto, o potencial em é o mesmo que no plano .
    Vamos calcular a diferença de potencial entre e :
    Mas como , precisamos encontrar .
    Como o campo na Região II é zero, o potencial em é igual ao potencial no infinito na Região I ou III. No entanto, como as folhas são finitas apenas entre e , podemos considerar a continuidade do potencial.
    De maneira simplificada, dado que o campo na Região II é zero, .
  2. Calculando :
    está em .
    Na Região II, o campo total é zero, então o potencial em também é igual a , que é zero.
    Portanto, .
  3. Calculando :

Resposta

As diferenças de potencial são:

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