Um elétron encontra-se em uma caixa bidimensional quadrada, com Lx=Ly=L, e está no estado fundamental do sistema. Um experimento é feito no qual é medida a probabilidade dele estar em uma região quadrada pequena, de 400 pm^2, ao redor do ponto x=L / 8 e y=L / 8. A probabilidade que o experimento detectou é de 4.5 times 10^-8. Qual é o comprimento da aresta da caixa L ? Dicas: considere que as bordas
da caixa estão em x=0, x=L, y=0 e y=L, e considere que dentro da área medida, de 400 p m^2, a probabilidade de deteção do elétron é aproximadamente constante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de mecânica quântica sobre um elétron numa caixa bidimensional quadrada. A gente precisa descobrir o comprimento da aresta da caixa . Para isso, vamos usar os conceitos do estado fundamental de partículas em uma caixa, que envolve as funções de onda e probabilidades de localização. Vamos precisar calcular a probabilidade de encontrar o elétron em uma região específica da caixa e relacionar isso com a área total da caixa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que no estado fundamental, a função de onda de um elétron numa caixa bidimensional quadrada é dada por:
psi1,1(x,y) = raiz4L^2 sin(pi xL) sin(pi yL)
Aqui, é a função de onda para os números quânticos e , que correspondem ao estado fundamental.

Passo 3

A probabilidade de encontrar o elétron numa região P = integralDe é dada por:
P approx |psi1,1(x,y)|^2 cdot De
Mas como a probabilidade dentro da área medida é aproximadamente constante, podemos simplificar para:

Passo 4

Vamos substituir P = ( 4L^2 sin^2(pi xL) sin^2(pi yL) ) cdot 400 , pm^2 e 4.5 times 10^-8 = 4L^2 sin^2(pi cdot L/8L) sin^2(pi cdot L/8L) cdot 400 na equação:
Sabemos que a probabilidade medida é , então:

Passo 5

Vamos simplificar os ângulos dentro das funções seno:
pi cdot L/8L = pi8
Então:
4.5 times 10^-8 = 4L^2 sin^2(pi8) sin^2(pi8) cdot 400
Ou seja:
4.5 times 10^-8 = 4L^2 sin^4(pi8) cdot 400

Passo 6

Vamos calcular sin(pi8) approx 0.3827 :
sin^4(pi8) approx (0.3827)^4 approx 0.0213
Então:
4.5 times 10^-8 = 4L^2 times 0.0213 times 400
Substituindo de volta na equação:

Passo 7

Multiplicando os números:
0.0213 times 400 = 8.52
Então:
4.5 times 10^-8 = 4 times 8.52L^2 = 34.08L^2

Passo 8

Agora, isolamos L^2 = 34.084.5 times 10^-8 = 34.084.5 times 10^8 approx 7.573 times 10^8 , pm^2 :

Passo 9

Finalmente, tiramos a raiz quadrada para encontrar L = raiz7.573 times 10^8 approx 2.752 times 10^4 , pm :
L approx 27.52 , nm
Convertendo para nanômetros ( ):

Resposta

O comprimento da aresta da caixa é aproximadamente 27,5 nanômetros.

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