Um elétron encontra-se em uma caixa bidimensional quadrada, com
, e está no estado fundamental do sistema. Um experimento é feito no qual é medida a probabilidade dele estar em uma região quadrada pequena, de
, ao redor do ponto
e
. A probabilidade que o experimento detectou é de
. Qual é o comprimento da aresta da caixa
? Dicas: considere que as bordas
da caixa estão em
e
, e considere que dentro da área medida, de
, a probabilidade de deteção do elétron é aproximadamente constante.
da caixa estão em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de mecânica quântica sobre um elétron numa caixa bidimensional quadrada. A gente precisa descobrir o comprimento da aresta da caixa
. Para isso, vamos usar os conceitos do estado fundamental de partículas em uma caixa, que envolve as funções de onda e probabilidades de localização. Vamos precisar calcular a probabilidade de encontrar o elétron em uma região específica da caixa e relacionar isso com a área total da caixa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que no estado fundamental, a função de onda de um elétron numa caixa bidimensional quadrada é dada por:
Aqui,
é a função de onda para os números quânticos
e
, que correspondem ao estado fundamental.
Passo 3
A probabilidade de encontrar o elétron numa região
é dada por:
Mas como a probabilidade dentro da área medida é aproximadamente constante, podemos simplificar para:
Passo 4
Vamos substituir
e
na equação:
Sabemos que a probabilidade medida é
, então:
Passo 5
Vamos simplificar os ângulos dentro das funções seno:
Então:
Ou seja:
Passo 6
Vamos calcular
:
Então:
Substituindo de volta na equação:
Passo 7
Multiplicando os números:
Então:
Passo 8
Agora, isolamos
:
Passo 9
Finalmente, tiramos a raiz quadrada para encontrar
:
Convertendo para nanômetros (
):
Resposta
O comprimento da aresta da caixa
é aproximadamente 27,5 nanômetros.
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, onde
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, onde
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, onde
, e
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