Seja a reta r dada pelos pontos A (2,3,−1) e B (−2,5,3). Encontre as equações reduzidas da reta r

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar as equações reduzidas da reta $ r $ que passa pelos pontos $ A(2, 3, -1) $ e $ B(-2, 5, 3) $. O conteúdo aqui é de Geometria Analítica no Espaço 3D, e para resolver isso, vamos precisar usar os conceitos de vetor diretor e equações paramétricas da reta.

Passo 2

Primeiro, a gente precisa achar o vetor diretor da reta $ r $. Esse vetor mostra a direção da reta e é dado pela diferença das coordenadas dos pontos $ B $ e $ A $. Então, vamos calcular:
r

Passo 3

Agora que temos o vetor diretor $ \vec{d} = (-4,\ 2,\ 4) $, podemos escrever as equações paramétricas da reta. Vamos usar o ponto $ A(2, 3, -1) $ como ponto de referência. As equações paramétricas ficam assim:
d = (-4, 2, 4)
Aqui, $ t $ é o parâmetro que varia ao longo da reta.

Passo 4

As equações reduzidas da reta são uma forma de escrever a reta sem o parâmetro $ t $, relacionando diretamente as coordenadas $ x $, $ y $ e $ z $. Para isso, dividimos as diferenças entre as coordenadas e os componentes do vetor diretor:
t
Essa é a forma simétrica das equações da reta.

Resposta

As equações reduzidas da reta $ r $ são:
r

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