Um departamento de engenharia e uma Universidade reporta que o custo médio para se produzir um determinado tipo de cimento custa em torno de . Você acredita que esse valor está incorreto, então você seleciona uma amostra aleatória de 900 tipos de cimento produzidos segundo o valor dado e descobre que a média dos custos é com desvio padrão de . Com 0,05 , há evidências suficiente para concluir que a média do custo é diferente de .

Passo 1

Vamos resumir o que o enunciado nos diz. Temos que a média reportada para o custo de produção de um tipo específico de cimento é de R$ 10.460,00. Você suspeita que esse valor está incorreto e decide investigar. Para isso, selecionou uma amostra aleatória de 900 tipos de cimento, calculando que a média dos custos nessa amostra é de R$ 10.345,00 com um desvio padrão de R$ 1.540,00. Nosso objetivo é, com um nível de significância de α = 0,05, determinar se há evidências suficientes para concluir que a média real do custo é diferente de R$ 10.460,00. Vamos utilizar conceitos de Teste de Hipótese para a Média.

Passo 2

Primeiro, precisamos definir as hipóteses que serão testadas.
  • Hipótese Nula (H₀): A média do custo de produção do cimento é igual a R$ 10.460,00.
  • Hipótese Alternativa (H₁): A média do custo de produção do cimento é diferente de R$ 10.460,00.
Esse é um teste bilateral, pois estamos verificando se a média é diferente (pode ser maior ou menor) do valor reportado.

Passo 3

Em seguida, escolhemos o teste estatístico apropriado. Como temos uma amostra grande (n = 900), podemos utilizar o Teste Z para a média, pois a distribuição amostral da média tende a ser normal pelo Teorema Central do Limite.
A fórmula para o cálculo do valor Z é:
onde:
  • é a média da amostra,
  • é a média hipotética,
  • é o desvio padrão,
  • é o tamanho da amostra.

Passo 4

Vamos calcular o valor de Z utilizando os dados fornecidos:
Aplicando na fórmula:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o valor crítico ou o p-valor para comparar com o nível de significância α = 0,05. Como o teste é bilateral, dividimos o α entre os dois extremos da distribuição.
Consultando a tabela Z, um valor de Z ≈ -2,245 corresponde a um p-valor de aproximadamente 0,025 em cada cauda, totalizando um p-valor de 0,05.

Passo 6

Comparamos o p-valor com o nível de significância α:
  • Se p-valor ≤ α, rejeitamos a hipótese nula.
  • Se p-valor > α, não rejeitamos a hipótese nula.
Neste caso, p-valor = 0,05 é igual a α = 0,05. Geralmente, consideramos isso como limite para rejeição.

Resposta

Com base no teste realizado, há evidências suficientes para concluir que a média do custo de produção do cimento é diferente de R$ 10.460,00 ao nível de significância de 5%.

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