Em um exame realizado em um laboratório para se determinar a quantidade de iodeto de potássio em diversas marcas de sal de cozinha, chegou-se aos seguintes valores, em miligramas:
12,3 - 13,4 - 13,6 14,2 - 14,7 15,1 - 15,8 - 16,5 - 16,9 - 17,4 17,8 - 18,2 - 18,9 - 19,6 - 20,3
Testar a hipótese de que a variância é de 13,5 mg^2, contra a hipótese de que seja:
c) Abaixo deste valor, dado alpha = 5 %.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de Estatística que envolve testar a variância de uma amostra. O enunciado nos dá uma série de valores em miligramas referentes à quantidade de iodeto de potássio em diferentes marcas de sal de cozinha. Nosso objetivo aqui é verificar, com um nível de confiança de 95% (já que α = 5%), se a variância da população é abaixo de 13,5 mg². Para isso, vamos precisar usar o teste qui-quadrado para variância.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
Temos um total de 15 observações.

Passo 3

Vamos calcular a média ( ) dos nossos dados:
Fazendo as contas:

Passo 4

Agora, vamos calcular a variância amostral ( ):
Vamos calcular cada :
Somando todos esses valores:
Então:

Passo 5

Vamos agora formular as hipóteses para o teste:
  • Hipótese Nula ( ): A variância é igual a 13,5 mg², ou seja,
  • Hipótese Alternativa ( ): A variância é menor que 13,5 mg², ou seja,

Passo 6

Utilizaremos o teste qui-quadrado para variância. A estatística do teste é dada por:
Onde:
Substituindo:

Passo 7

Agora, vamos encontrar o valor crítico da distribuição qui-quadrado para e graus de liberdade. Como a hipótese alternativa é “menor que”, vamos procurar o valor crítico à esquerda.
Consultando a tabela qui-quadrado, encontramos:

Passo 8

Comparamos a estatística do teste com o valor crítico:
Como nossa estatística está acima do valor crítico, não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com base nos cálculos, não há evidências suficientes para afirmar que a variância é menor que 13,5 mg² ao nível de significância de 5%. Portanto, não rejeitamos a hipótese nula.

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