Uma indústria afirma que a média do nível do pH na água do rio mais próximo é de 6,8. Você seleciona 19 amostras de água e mede os níveis de pH de cada uma. A média amostral e o desvio padrão são de 6,7 e 0,24 , respectivamente. Há evidências suficiente para rejeitar a afirmação da indústria em alpha = 0.05 ? Assuma que a população é normalmente distribuída.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que tá rolando aqui. A indústria tá dizendo que o pH médio da água do rio é 6,8. Você pegou 19 amostras, mediu o pH de cada uma e encontrou uma média de 6,7 com um desvio padrão de 0,24. A pergunta é: com essa diferença, a gente tem motivos para duvidar do que a indústria falou, usando um nível de confiança de 5% ( )? Para resolver isso, vamos precisar usar testes de hipóteses, especificamente o teste t de Student, já que a população é normalmente distribuída e estamos trabalhando com uma amostra pequena.

Passo 2

Primeiro, vamos montar nossas hipóteses:
  • Hipótese nula ( ): A média do pH é igual a 6,8.
  • Hipótese alternativa ( ): A média do pH é diferente de 6,8.

Passo 3

Como estamos testando se a média é diferente e não sabemos o desvio padrão da população, vamos usar o teste t de Student. O nível de significância é , o que significa que estamos aceitando uma chance de 5% de errar ao rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira.

Passo 4

Vamos calcular o valor da estatística t usando a fórmula:
Onde:
  • (média amostral)
  • (média segundo a indústria)
  • (desvio padrão amostral)
  • (tamanho da amostra)
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora, vamos achar o valor crítico da distribuição t para um teste bilateral com e graus de liberdade. Consultando uma tabela t, o valor crítico é aproximadamente .

Passo 6

Comparamos o valor calculado de t ( ) com os valores críticos ( e ). Como está entre e , ele não está na região de rejeição.

Resposta

Não há evidências suficientes para rejeitar a afirmação da indústria. Ou seja, aceitamos a hipótese de que a média do pH é 6,8.

Exercícios relacionados