A taxa de variação da pressão atmosférica
em relação à altura
é diretamente proporcional à pressão. Supondo que a pressão a 6000 m seja metade de seu valor
ao nível do mar, achar a fórmula para qualquer altura.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem que descobrir como a pressão atmosférica
muda conforme a altura
. Sabemos que a taxa de variação de
em relação a
é diretamente proporcional à própria pressão. Além disso, foi dado que a pressão a 6000 metros de altura é metade da pressão no nível do mar, que é
. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especificamente equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos traduzir a informação “a taxa de variação da pressão em relação à altura é diretamente proporcional à pressão” em uma equação matemática. Isso significa que:
Aqui,
é a constante de proporcionalidade que precisamos encontrar.
Passo 3
Sabemos que a pressão diminui conforme a altura aumenta, então a constante
deve ser negativa. Vamos reescrever a equação:
onde
.
Passo 4
Essa é uma equação diferencial separável. Podemos separar as variáveis
e
:
Agora, vamos integrar os dois lados para encontrar
em função de
.
Passo 5
Integrando ambos os lados:
O que resulta em:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Vamos resolver para
exponenciando ambos os lados:
Podemos simplificar
para
, já que é apenas uma constante:
Passo 7
Agora, vamos usar a condição inicial que nos foi dada: a pressão a 6000 metros é metade da pressão no nível do mar
. Ou seja, quando
,
.
Substituindo na equação:
Passo 8
Como no nível do mar (
), a pressão é
, substituímos
na equação geral:
Então, substituindo
na equação anterior:
Passo 9
Dividindo ambos os lados por
:
Agora, tiramos o logaritmo natural de ambos os lados para resolver para
:
Assim,
Passo 10
Agora que temos
, podemos escrever a fórmula geral para a pressão em qualquer altura
:
Essa é a fórmula que relaciona a pressão atmosférica
com a altura
.
Resposta
A fórmula para a pressão atmosférica em qualquer altura
é:
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