A taxa de variação da pressão atmosférica P em relação à altura h é diretamente proporcional à pressão. Supondo que a pressão a 6000 m seja metade de seu valor P0 ao nível do mar, achar a fórmula para qualquer altura.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem que descobrir como a pressão atmosférica muda conforme a altura . Sabemos que a taxa de variação de em relação a é diretamente proporcional à própria pressão. Além disso, foi dado que a pressão a 6000 metros de altura é metade da pressão no nível do mar, que é . Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especificamente equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos traduzir a informação “a taxa de variação da pressão em relação à altura é diretamente proporcional à pressão” em uma equação matemática. Isso significa que:
Aqui, é a constante de proporcionalidade que precisamos encontrar.

Passo 3

Sabemos que a pressão diminui conforme a altura aumenta, então a constante deve ser negativa. Vamos reescrever a equação:
onde .

Passo 4

Essa é uma equação diferencial separável. Podemos separar as variáveis e :
Agora, vamos integrar os dois lados para encontrar em função de .

Passo 5

Integrando ambos os lados:
O que resulta em:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos resolver para exponenciando ambos os lados:
Podemos simplificar para , já que é apenas uma constante:

Passo 7

Agora, vamos usar a condição inicial que nos foi dada: a pressão a 6000 metros é metade da pressão no nível do mar . Ou seja, quando , .
Substituindo na equação:

Passo 8

Como no nível do mar ( ), a pressão é , substituímos na equação geral:
Então, substituindo na equação anterior:

Passo 9

Dividindo ambos os lados por :
Agora, tiramos o logaritmo natural de ambos os lados para resolver para :
Assim,

Passo 10

Agora que temos , podemos escrever a fórmula geral para a pressão em qualquer altura :
Essa é a fórmula que relaciona a pressão atmosférica com a altura .

Resposta

A fórmula para a pressão atmosférica em qualquer altura é:

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