O plano
corta o cone
gerando uma curva. Encontre o ponto dessa curva que está mais próximo da origem. Utilize os multiplicadores de Lagrange.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um plano dado por
e um cone dado por
. O desafio é encontrar o ponto onde essa curva, formada pela interseção do plano com o cone, está mais perto da origem (0,0,0). Para isso, vamos usar os multiplicadores de Lagrange, que ajudam a encontrar extremos de funções sujeitas a restrições.
Passo 2
Primeiro, precisamos definir o que queremos minimizar. Queremos minimizar a distância do ponto
até a origem. Como a distância é
, para simplificar vamos minimizar o quadrado dessa distância:
.
Passo 3
Agora, vamos considerar as restrições do problema. Temos duas restrições:
- O ponto está no plano:
. - O ponto está no cone:
.
Passo 4
Com os multiplicadores de Lagrange, a gente configura as equações de Lagrange:
Isso significa que os vetores gradiente de
devem ser combinações lineares dos gradientes de
e
.
Passo 5
Calculando os gradientes:
Então, as equações ficam:
Passo 6
Vamos reorganizar as equações:
Isso nos dá:
Passo 7
Observando as primeiras duas igualdades:
Se
, então
.
Passo 8
Usando
na equação do cone
:
Então,
ou
.
Passo 9
Agora, usamos a equação do plano
com
e
:
Racionalizando o denominador:
Então,
e
.
Resposta
O ponto da curva que está mais próximo da origem é
.