O plano x + y + z = 1 corta o cone z^2 = x^2 + y^2 gerando uma curva. Encontre o ponto dessa curva que está mais próximo da origem. Utilize os multiplicadores de Lagrange.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um plano dado por e um cone dado por . O desafio é encontrar o ponto onde essa curva, formada pela interseção do plano com o cone, está mais perto da origem (0,0,0). Para isso, vamos usar os multiplicadores de Lagrange, que ajudam a encontrar extremos de funções sujeitas a restrições.

Passo 2

Primeiro, precisamos definir o que queremos minimizar. Queremos minimizar a distância do ponto até a origem. Como a distância é , para simplificar vamos minimizar o quadrado dessa distância: .

Passo 3

Agora, vamos considerar as restrições do problema. Temos duas restrições:
  1. O ponto está no plano: .
  2. O ponto está no cone: .

Passo 4

Com os multiplicadores de Lagrange, a gente configura as equações de Lagrange:
Isso significa que os vetores gradiente de devem ser combinações lineares dos gradientes de e .

Passo 5

Calculando os gradientes:
Então, as equações ficam:

Passo 6

Vamos reorganizar as equações:
Isso nos dá:

Passo 7

Observando as primeiras duas igualdades:
Se , então .

Passo 8

Usando na equação do cone :
Então, ou .

Passo 9

Agora, usamos a equação do plano com e :
Racionalizando o denominador:
Então, e .

Resposta

O ponto da curva que está mais próximo da origem é .

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