Determine os limites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. Aqui, a gente vai usar um pouco de cálculo, especificamente sobre limites e funções logarítmicas. Vamos precisar entender como a função logarítmica se comporta perto de zero e talvez usar uma regra famosa chamada Regra de L’Hôpital para facilitar a coisa.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no que acontece quando
se aproxima de 0. Se a gente simplesmente substituir
na expressão, temos:
Esse formato
é o famoso “indeterminado” que nos diz que precisamos fazer mais trabalho para descobrir o limite.
Passo 3
Quando nos deparamos com um limite que resulta em
, a Regra de L’Hôpital é uma ótima ferramenta. Essa regra diz que podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então recalcular o limite. Ou seja:
Passo 4
Vamos derivar o numerador e o denominador:
- Derivada do numerador
:
- Derivada do denominador
:
Então, nosso limite fica:
Passo 5
Agora, substituímos
nessa nova expressão:
Resposta
O limite é igual a
.