Determine os limites: lim x 0 ln (1+2 x)x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Aqui, a gente vai usar um pouco de cálculo, especificamente sobre limites e funções logarítmicas. Vamos precisar entender como a função logarítmica se comporta perto de zero e talvez usar uma regra famosa chamada Regra de L’Hôpital para facilitar a coisa.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no que acontece quando ln (1+2 cdot 0)0 = ln (1)0 = 00 se aproxima de 0. Se a gente simplesmente substituir na expressão, temos:
Esse formato é o famoso “indeterminado” que nos diz que precisamos fazer mais trabalho para descobrir o limite.

Passo 3

Quando nos deparamos com um limite que resulta em limx to 0 ln(1+2x)x = limx to 0 ddx[ln(1+2x)]ddx[x] , a Regra de L’Hôpital é uma ótima ferramenta. Essa regra diz que podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então recalcular o limite. Ou seja:

Passo 4

Vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Derivada do numerador ddx[ln(1+2x)] = 21+2x :
ddx[x] = 1
  • Derivada do denominador limx to 0 21+2x :
Então, nosso limite fica:

Passo 5

Agora, substituímos 21+2 cdot 0 = 21 = 2 nessa nova expressão:

Resposta

O limite é igual a .

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