A derivada é sempre negativa, exceto em , onde a função não é definida. Não há pontos críticos, sendo sempre decrescente.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o problema está dizendo. Temos uma derivada . A derivada é sempre negativa, exceto quando , onde a função não está definida. Isso significa que a função não tem pontos críticos e está sempre decrescente. Vamos entender por que isso acontece!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que a derivada representa. A derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente à função nesse ponto. Se a derivada for positiva, a função está crescendo naquele ponto; se for negativa, está decrescendo.

Passo 3

Agora, olhemos a expressão da derivada: . Podemos reescrever isso como .

Passo 4

Vamos analisar o sinal dessa derivada. O denominador é sempre positivo, pois qualquer número ao quadrado é positivo. Multiplicando por -2, toda a expressão será sempre negativa, exceto quando , onde o denominador se torna zero e a derivada não está definida.

Passo 5

Como a derivada é sempre negativa onde está definida, isso significa que a função está sempre decrescendo nesses intervalos. Não há pontos onde a derivada seja zero, então não existem pontos críticos onde a função poderia mudar de crescente para decrescente ou vice-versa.

Resposta

Portanto, a função é sempre decrescente em todo o seu domínio, já que sua derivada é sempre negativa, exceto em , onde não está definida.

Exercícios relacionados

Os pontos críticos ocorrem quando , ou . Tais são os pontos da forma
São de máximo absoluto os pontos e de mínimo absoluto os pontos , pois a função é crescente nos intervalos e decrescente em .
Pontos críticos em (de mínimo absoluto) e (de máximo relativo). é crescente em decrescente em e .
em e , o primeiro destes valores sendo ponto de máximo e o segundo de mínimo, como se comprova pelo teste da derivada primeira. Com obtemos .
. Ponto crítico em , de máximo absoluto, pois a função é crescente em e decrescente em . Ela não tem mínimo.