A derivada
é sempre negativa, exceto em
, onde a função não é definida. Não há pontos críticos,
sendo sempre decrescente.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o problema está dizendo. Temos uma derivada
. A derivada é sempre negativa, exceto quando
, onde a função não está definida. Isso significa que a função
não tem pontos críticos e está sempre decrescente. Vamos entender por que isso acontece!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que a derivada representa. A derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente à função nesse ponto. Se a derivada for positiva, a função está crescendo naquele ponto; se for negativa, está decrescendo.
Passo 3
Agora, olhemos a expressão da derivada:
. Podemos reescrever isso como
.
Passo 4
Vamos analisar o sinal dessa derivada. O denominador
é sempre positivo, pois qualquer número ao quadrado é positivo. Multiplicando por -2, toda a expressão
será sempre negativa, exceto quando
, onde o denominador se torna zero e a derivada não está definida.
Passo 5
Como a derivada
é sempre negativa onde está definida, isso significa que a função
está sempre decrescendo nesses intervalos. Não há pontos onde a derivada seja zero, então não existem pontos críticos onde a função poderia mudar de crescente para decrescente ou vice-versa.
Resposta
Portanto, a função
é sempre decrescente em todo o seu domínio, já que sua derivada é sempre negativa, exceto em
, onde não está definida.
Exercícios relacionados
Os pontos críticos ocorrem quando
, ou
. Tais são os pontos da forma
São de máximo absoluto os pontos
e de mínimo absoluto os pontos
, pois a função é crescente nos intervalos
e decrescente em
.
Pontos críticos em
(de mínimo absoluto) e
(de máximo relativo).
é crescente em
decrescente em
e
.