A derivada f'(x) = -2(x-1)^(-2) é sempre negativa, exceto em x = 1, onde a função não é definida. Não há pontos críticos, f sendo sempre decrescente.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o problema está dizendo. Temos uma derivada . A derivada é sempre negativa, exceto quando , onde a função não está definida. Isso significa que a função não tem pontos críticos e está sempre decrescente. Vamos entender por que isso acontece!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que a derivada representa. A derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente à função nesse ponto. Se a derivada for positiva, a função está crescendo naquele ponto; se for negativa, está decrescendo.

Passo 3

Agora, olhemos a expressão da derivada: . Podemos reescrever isso como .

Passo 4

Vamos analisar o sinal dessa derivada. O denominador é sempre positivo, pois qualquer número ao quadrado é positivo. Multiplicando por -2, toda a expressão será sempre negativa, exceto quando , onde o denominador se torna zero e a derivada não está definida.

Passo 5

Como a derivada é sempre negativa onde está definida, isso significa que a função está sempre decrescendo nesses intervalos. Não há pontos onde a derivada seja zero, então não existem pontos críticos onde a função poderia mudar de crescente para decrescente ou vice-versa.

Resposta

Portanto, a função é sempre decrescente em todo o seu domínio, já que sua derivada é sempre negativa, exceto em , onde não está definida.

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