Pontos críticos em
(de mínimo absoluto) e
(de máximo relativo).
é crescente em
decrescente em
e
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função
com pontos críticos em
(que é um mínimo absoluto) e
(que é um máximo relativo). Além disso, a função é crescente no intervalo
e decrescente para
e
. O conteúdo aqui envolve derivadas, já que pontos críticos e comportamento crescente/decrescente estão relacionados à primeira derivada da função.
Para resolver isso, vamos precisar:
- Entender o que são pontos críticos.
- Saber como a primeira derivada indica onde a função está crescendo ou decrescendo.
- Montar a primeira derivada com base nessas informações.
- Integrar para encontrar a expressão da função
.
Passo 2
Primeiro, pontos críticos são valores de
onde a primeira derivada
é zero ou não existe. No nosso caso, sabemos que
e
.
Passo 3
Sabemos também que a função é decrescente para
e
, e crescente entre
. Isso nos dá informações sobre o sinal da primeira derivada:
- Para decrescente,
. - Para crescente,
.
Passo 4
Vamos montar a primeira derivada
com base nesses sinais e nos pontos críticos. Queremos uma função que:
- Seja negativa quando
. - Seja positiva quando
. - Seja negativa quando
. - Seja zero em
e .
Uma maneira de construir isso é considerar fatores que se anulam nos pontos críticos. Então, podemos assumir que
é proporcional a
. O sinal negativo garante que:
- Para
: será negativo. - Para
: será positivo. - Para
: será negativo.
Então, temos:
Passo 5
Agora, para encontrar a função
, precisamos integrar a primeira derivada:
Integrando termo a termo:
onde
é a constante de integração.
Resposta
A função
que atende a todas as condições do exercício é:
onde
�� uma constante real.
Exercícios relacionados
Pontos críticos em
e
. O primeiro é de máximo relativo e os outros dois são de mínimo absoluto:
. Não há máximo absoluto, pois
. A função é crescente em
e decrescente em
e
.
donde obtemos:
e
para
. Assim, o ângulo
tal que sen
é ponto de máximo. O mínimo deve ocorrer em
ou
; ocorrerá em
se
e em
se
.
Os pontos críticos ocorrem quando
, ou
. Tais são os pontos da forma
São de máximo absoluto os pontos
e de mínimo absoluto os pontos
, pois a função é crescente nos intervalos
e decrescente em
.
A derivada
é sempre negativa, exceto em
, onde a função não é definida. Não há pontos críticos,
sendo sempre decrescente.