Pontos críticos em
(de mínimo absoluto) e
(de máximo relativo).
é crescente em
decrescente em
e
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função
com pontos críticos em
(que é um mínimo absoluto) e
(que é um máximo relativo). Além disso, a função é crescente no intervalo
e decrescente para
e
. O conteúdo aqui envolve derivadas, já que pontos críticos e comportamento crescente/decrescente estão relacionados à primeira derivada da função.
Para resolver isso, vamos precisar:
- Entender o que são pontos críticos.
- Saber como a primeira derivada indica onde a função está crescendo ou decrescendo.
- Montar a primeira derivada com base nessas informações.
- Integrar para encontrar a expressão da função
.
Passo 2
Primeiro, pontos críticos são valores de
onde a primeira derivada
é zero ou não existe. No nosso caso, sabemos que
e
.
Passo 3
Sabemos também que a função é decrescente para
e
, e crescente entre
. Isso nos dá informações sobre o sinal da primeira derivada:
- Para decrescente,
. - Para crescente,
.
Passo 4
Vamos montar a primeira derivada
com base nesses sinais e nos pontos críticos. Queremos uma função que:
- Seja negativa quando
. - Seja positiva quando
. - Seja negativa quando
. - Seja zero em
e .
Uma maneira de construir isso é considerar fatores que se anulam nos pontos críticos. Então, podemos assumir que
é proporcional a
. O sinal negativo garante que:
- Para
: será negativo. - Para
: será positivo. - Para
: será negativo.
Então, temos:
Passo 5
Agora, para encontrar a função
, precisamos integrar a primeira derivada:
Integrando termo a termo:
onde
é a constante de integração.
Resposta
A função
que atende a todas as condições do exercício é:
onde
�� uma constante real.