Pontos críticos em x = 0 (de mínimo absoluto) e x = 2 (de máximo relativo). f é crescente em 0 <= x <= 2 e decrescente em x <= 0 e r ≥ 2.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função com pontos críticos em (que é um mínimo absoluto) e (que é um máximo relativo). Além disso, a função é crescente no intervalo e decrescente para e . O conteúdo aqui envolve derivadas, já que pontos críticos e comportamento crescente/decrescente estão relacionados à primeira derivada da função.
Para resolver isso, vamos precisar:
  • Entender o que são pontos críticos.
  • Saber como a primeira derivada indica onde a função está crescendo ou decrescendo.
  • Montar a primeira derivada com base nessas informações.
  • Integrar para encontrar a expressão da função .

Passo 2

Primeiro, pontos críticos são valores de onde a primeira derivada é zero ou não existe. No nosso caso, sabemos que e .

Passo 3

Sabemos também que a função é decrescente para e , e crescente entre . Isso nos dá informações sobre o sinal da primeira derivada:
  • Para decrescente, .
  • Para crescente, .

Passo 4

Vamos montar a primeira derivada com base nesses sinais e nos pontos críticos. Queremos uma função que:
  • Seja negativa quando .
  • Seja positiva quando .
  • Seja negativa quando .
  • Seja zero em e .
Uma maneira de construir isso é considerar fatores que se anulam nos pontos críticos. Então, podemos assumir que é proporcional a . O sinal negativo garante que:
  • Para : será negativo.
  • Para : será positivo.
  • Para : será negativo.
Então, temos:

Passo 5

Agora, para encontrar a função , precisamos integrar a primeira derivada:
Integrando termo a termo:
onde é a constante de integração.

Resposta

A função que atende a todas as condições do exercício é:
onde �� uma constante real.

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