em e , o primeiro destes valores sendo ponto de máximo e o segundo de mínimo, como se comprova pelo teste da derivada primeira. Com obtemos .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está dizendo. Temos duas equações que relacionam as alturas e os raios de dois cones:
Aqui, e são as dimensões do cone maior, enquanto e são as do cone menor. O objetivo é encontrar os valores de que maximizam ou minimizam o volume do cone menor. Para isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas, para encontrar os pontos críticos onde a derivada de em relação a é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre , , e . A equação
indica que os dois cones são semelhantes, ou seja, têm a mesma forma, mas tamanhos diferentes. Podemos rearranjar essa equação para encontrar em termos de :
Assim, sabemos como varia conforme muda.

Passo 3

Agora, olhemos para a expressão do volume :
Substituindo a expressão de que encontramos:
Essa é a função que vamos maximizar ou minimizar em relação a .

Passo 4

Para encontrar os pontos onde o volume atinge máximos ou mínimos, precisamos encontrar onde a derivada de em relação a é zero, ou seja, .
Vamos derivar em relação a :
Primeiro, vamos aplicar a regra do produto:
Simplificando:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão da derivada:
Factorizamos :
Simplificando dentro dos colchetes:
Então:

Passo 6

Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Como , temos:
Isso nos dá duas soluções:
  1. .
  2. .

Passo 7

Agora, precisamos determinar qual desses valores de corresponde a um máximo ou mínimo do volume . Para isso, usamos o teste da derivada primeira.
  • Para :
    • Escolhemos valores ligeiramente menores e maiores que e analisamos o sinal da derivada.
    • Se a derivada muda de positiva para negativa, temos um ponto de máximo.
  • Para :
    • Analisamos da mesma forma.
    • Geralmente, no contexto de cones, representa o volume mínimo (na verdade, zero, já que o cone desaparece).
Assim, concluímos que é um ponto de máximo e é um ponto de mínimo.

Passo 8

Finalmente, vamos encontrar o valor de correspondente a usando a relação que encontramos no Passo 2:

Resposta

Para maximizar o volume do cone menor, temos que e, nesse caso, .

Exercícios relacionados

A derivada é sempre negativa, exceto em , onde a função não é definida. Não há pontos críticos, sendo sempre decrescente.
Os pontos críticos ocorrem quando , ou . Tais são os pontos da forma
São de máximo absoluto os pontos e de mínimo absoluto os pontos , pois a função é crescente nos intervalos e decrescente em .
. Ponto crítico em , de máximo absoluto, pois a função é crescente em e decrescente em . Ela não tem mínimo.
. Ponto crítico em , de máximo absoluto. é crescente em e decrescente em . Não tem mínimo.