em
e
, o primeiro destes valores sendo ponto de máximo e o segundo de mínimo, como se comprova pelo teste da derivada primeira. Com
obtemos
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está dizendo. Temos duas equações que relacionam as alturas e os raios de dois cones:
Aqui,
e
são as dimensões do cone maior, enquanto
e
são as do cone menor. O objetivo é encontrar os valores de
que maximizam ou minimizam o volume
do cone menor. Para isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas, para encontrar os pontos críticos onde a derivada de
em relação a
é zero.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação entre
,
,
e
. A equação
indica que os dois cones são semelhantes, ou seja, têm a mesma forma, mas tamanhos diferentes. Podemos rearranjar essa equação para encontrar
em termos de
:
Assim, sabemos como
varia conforme
muda.
Passo 3
Agora, olhemos para a expressão do volume
:
Substituindo a expressão de
que encontramos:
Essa é a função que vamos maximizar ou minimizar em relação a
.
Passo 4
Para encontrar os pontos onde o volume
atinge máximos ou mínimos, precisamos encontrar onde a derivada de
em relação a
é zero, ou seja,
.
Vamos derivar
em relação a
:
Primeiro, vamos aplicar a regra do produto:
Simplificando:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão da derivada:
Factorizamos
:
Simplificando dentro dos colchetes:
Então:
Passo 6
Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Como
, temos:
Isso nos dá duas soluções:
-
→ . -
→ .
Passo 7
Agora, precisamos determinar qual desses valores de
corresponde a um máximo ou mínimo do volume
. Para isso, usamos o teste da derivada primeira.
-
Para
: - Escolhemos valores ligeiramente menores e maiores que
e analisamos o sinal da derivada. - Se a derivada muda de positiva para negativa, temos um ponto de máximo.
- Escolhemos valores ligeiramente menores e maiores que
-
Para
: - Analisamos da mesma forma.
- Geralmente, no contexto de cones,
representa o volume mínimo (na verdade, zero, já que o cone desaparece).
Assim, concluímos que
é um ponto de máximo e
é um ponto de mínimo.
Passo 8
Finalmente, vamos encontrar o valor de
correspondente a
usando a relação que encontramos no Passo 2:
Resposta
Para maximizar o volume do cone menor, temos que
e, nesse caso,
.
Exercícios relacionados
A derivada
é sempre negativa, exceto em
, onde a função não é definida. Não há pontos críticos,
sendo sempre decrescente.
Os pontos críticos ocorrem quando
, ou
. Tais são os pontos da forma
São de máximo absoluto os pontos
e de mínimo absoluto os pontos
, pois a função é crescente nos intervalos
e decrescente em
.