H/R = (H - h) / r e V = pi r^2 h = (pi R^2 / H^2) (H - h)^2 h
dV/dh = 0 em h = H / 3 e h = H, o primeiro destes valores sendo ponto de máximo e o segundo de mínimo, como se comprova pelo teste da derivada primeira. Com h = H / 3 obtemos r = 2 R / 3.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está dizendo. Temos duas equações que relacionam as alturas e os raios de dois cones:
Aqui, H e R são as dimensões do cone maior, enquanto h e r são as do cone menor. O objetivo é encontrar os valores de h que maximizam ou minimizam o volume V do cone menor. Para isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas, para encontrar os pontos críticos onde a derivada de V em relação a h é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre H, R, h e r. A equação
indica que os dois cones são semelhantes, ou seja, têm a mesma forma, mas tamanhos diferentes. Podemos rearranjar essa equação para encontrar r em termos de h:
Assim, sabemos como r varia conforme h muda.

Passo 3

Agora, olhemos para a expressão do volume V:
Substituindo a expressão de r que encontramos:
Essa é a função que vamos maximizar ou minimizar em relação a h.

Passo 4

Para encontrar os pontos onde o volume V atinge máximos ou mínimos, precisamos encontrar onde a derivada de V em relação a h é zero, ou seja, .
Vamos derivar em relação a h:
Primeiro, vamos aplicar a regra do produto:
Simplificando:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão da derivada:
Factorizamos :
Simplificando dentro dos colchetes:
Então:

Passo 6

Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Como , temos:
Isso nos dá duas soluções:
  1. .
  2. .

Passo 7

Agora, precisamos determinar qual desses valores de h corresponde a um máximo ou mínimo do volume V. Para isso, usamos o teste da derivada primeira.
  • Para :
    • Escolhemos valores ligeiramente menores e maiores que e analisamos o sinal da derivada.
    • Se a derivada muda de positiva para negativa, temos um ponto de máximo.
  • Para :
    • Analisamos da mesma forma.
    • Geralmente, no contexto de cones, representa o volume mínimo (na verdade, zero, já que o cone desaparece).
Assim, concluímos que é um ponto de máximo e é um ponto de mínimo.

Passo 8

Finalmente, vamos encontrar o valor de r correspondente a usando a relação que encontramos no Passo 2:

Resposta

Para maximizar o volume do cone menor, temos que e, nesse caso, .

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