Os pontos críticos ocorrem quando f'(x) = cos(x) - sen(x) = 0, ou tan(x) = 1. Tais são os pontos da forma
x_k = k pi + pi / 4, k = 0, +- 1, +- 2, ...
São de máximo absoluto os pontos x_2k e de mínimo absoluto os pontos x_{2k+1}, pois a função é crescente nos intervalos x2k-1 <= x <= x2k e decrescente em x2k <= x <= x2k+1.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função cuja derivada é . Precisamos encontrar os pontos críticos dessa função, ou seja, os valores de onde a derivada é igual a zero. Além disso, queremos saber quais desses pontos correspondem a máximos e mínimos absolutos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo a equação . Isso significa que:

Passo 3

Vamos isolar uma das funções trigonométricas. Podemos reescrever a equação como:
Dividindo os dois lados por (que é válido quando ):
Então, a equação simplifica para:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar todos os valores de que satisfazem . Sabemos que a tangente de é igual a 1. Como a tangente tem período , as soluções gerais são:
Isso significa que os pontos críticos ocorrem em , e assim por diante, para cada inteiro .

Passo 5

Agora, vamos determinar quais desses pontos são máximos e quais são mínimos absolutos. A ideia é observar o comportamento da função nos intervalos determinados pelos pontos críticos.
  • Em : A função está crescente. Isso significa que no ponto , a função atinge um máximo absoluto.
  • Em : A função está decrescente. Assim, no ponto , a função atinge um mínimo absoluto.

Resposta

Os pontos críticos são da forma para todo inteiro . Entre esses, os pontos são de máximo absoluto e os pontos são de mínimo absoluto.

Exercícios relacionados