Os pontos críticos ocorrem quando
, ou
. Tais são os pontos da forma
São de máximo absoluto os pontos
e de mínimo absoluto os pontos
, pois a função é crescente nos intervalos
e decrescente em
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função cuja derivada é
. Precisamos encontrar os pontos críticos dessa função, ou seja, os valores de
onde a derivada é igual a zero. Além disso, queremos saber quais desses pontos correspondem a máximos e mínimos absolutos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo a equação
. Isso significa que:
Passo 3
Vamos isolar uma das funções trigonométricas. Podemos reescrever a equação como:
Dividindo os dois lados por
(que é válido quando
):
Então, a equação simplifica para:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar todos os valores de
que satisfazem
. Sabemos que a tangente de
é igual a 1. Como a tangente tem período
, as soluções gerais são:
Isso significa que os pontos críticos ocorrem em
, e assim por diante, para cada inteiro
.
Passo 5
Agora, vamos determinar quais desses pontos são máximos e quais são mínimos absolutos. A ideia é observar o comportamento da função
nos intervalos determinados pelos pontos críticos.
-
Em
: A função está crescente. Isso significa que no ponto , a função atinge um máximo absoluto. -
Em
: A função está decrescente. Assim, no ponto , a função atinge um mínimo absoluto.
Resposta
Os pontos críticos são da forma
para todo inteiro
. Entre esses, os pontos
são de máximo absoluto e os pontos
são de mínimo absoluto.
Exercícios relacionados
Pontos críticos em
(de mínimo absoluto) e
(de máximo relativo).
é crescente em
decrescente em
e
.
Pontos críticos em
e
. O primeiro é de máximo relativo e os outros dois são de mínimo absoluto:
. Não há máximo absoluto, pois
. A função é crescente em
e decrescente em
e
.
A derivada
é sempre negativa, exceto em
, onde a função não é definida. Não há pontos críticos,
sendo sempre decrescente.