Os pontos críticos ocorrem quando , ou . Tais são os pontos da forma
São de máximo absoluto os pontos e de mínimo absoluto os pontos , pois a função é crescente nos intervalos e decrescente em .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função cuja derivada é . Precisamos encontrar os pontos críticos dessa função, ou seja, os valores de onde a derivada é igual a zero. Além disso, queremos saber quais desses pontos correspondem a máximos e mínimos absolutos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo a equação . Isso significa que:

Passo 3

Vamos isolar uma das funções trigonométricas. Podemos reescrever a equação como:
Dividindo os dois lados por (que é válido quando ):
Então, a equação simplifica para:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar todos os valores de que satisfazem . Sabemos que a tangente de é igual a 1. Como a tangente tem período , as soluções gerais são:
Isso significa que os pontos críticos ocorrem em , e assim por diante, para cada inteiro .

Passo 5

Agora, vamos determinar quais desses pontos são máximos e quais são mínimos absolutos. A ideia é observar o comportamento da função nos intervalos determinados pelos pontos críticos.
  • Em : A função está crescente. Isso significa que no ponto , a função atinge um máximo absoluto.
  • Em : A função está decrescente. Assim, no ponto , a função atinge um mínimo absoluto.

Resposta

Os pontos críticos são da forma para todo inteiro . Entre esses, os pontos são de máximo absoluto e os pontos são de mínimo absoluto.

Exercícios relacionados

Pontos críticos em (de mínimo absoluto) e (de máximo relativo). é crescente em decrescente em e .
Pontos críticos em e . O primeiro é de máximo relativo e os outros dois são de mínimo absoluto: . Não há máximo absoluto, pois . A função é crescente em e decrescente em e .
A derivada é sempre negativa, exceto em , onde a função não é definida. Não há pontos críticos, sendo sempre decrescente.
em e , o primeiro destes valores sendo ponto de máximo e o segundo de mínimo, como se comprova pelo teste da derivada primeira. Com obtemos .