. Ponto crítico em
, de máximo absoluto, pois a função é crescente em
e decrescente em
. Ela não tem mínimo.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão nos apresenta a derivada de uma função:
. Nosso objetivo é encontrar os pontos críticos dessa função e determinar se eles correspondem a máximos ou mínimos absolutos. Para isso, vamos precisar entender sobre derivadas, pontos críticos e análise de crescimento e decrescimento das funções.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Ponto crítico é onde a derivada é zero ou não existe. Nesse caso, nossa derivada
está definida para todo
, então só precisamos resolver
.
Então, temos:
Sabemos que
nunca é zero para nenhum valor real de
. Portanto, para que o produto seja zero, precisamos que:
Então, temos um único ponto crítico em
.
Passo 3
Agora que encontramos o ponto crítico, vamos determinar se ele é um máximo, mínimo ou ponto de inflexão. Para isso, vamos analisar o comportamento da função em torno de
.
Vamos analisar o sinal da derivada antes e depois de
:
-
Para
: Vamos escolher por simplicidade. Isso significa que a função está crescente nesse intervalo. -
Para
: Vamos escolher . Aqui, a função está decrescente.
Passo 4
Como a função está crescendo para
e decrescendo para
, isso indica que em
temos um máximo absoluto. Ou seja, a função atinge o seu valor máximo nesse ponto.
Além disso, já que não encontramos nenhum outro ponto crítico onde a derivada muda de sinal de positivo para negativo de forma similar, concluímos que a função não possui mínimo.
Resposta
A função possui um ponto crítico em
, que é um máximo absoluto, pois a função está crescente para
e decrescente para
. Ela não possui mínimo.
Exercícios relacionados
A derivada
é sempre negativa, exceto em
, onde a função não é definida. Não há pontos críticos,
sendo sempre decrescente.
Ponto crítico em
, de mínimo absoluto.
é crescente em
e decrescente em
.