f'(x)=(1-x)e^(-x). Ponto crítico em x = 1, de máximo absoluto, pois a função é crescente em x <= 1 e decrescente em x ≥ 1. Ela não tem mínimo.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão nos apresenta a derivada de uma função: . Nosso objetivo é encontrar os pontos críticos dessa função e determinar se eles correspondem a máximos ou mínimos absolutos. Para isso, vamos precisar entender sobre derivadas, pontos críticos e análise de crescimento e decrescimento das funções.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Ponto crítico é onde a derivada é zero ou não existe. Nesse caso, nossa derivada está definida para todo , então só precisamos resolver .
Então, temos:
Sabemos que nunca é zero para nenhum valor real de . Portanto, para que o produto seja zero, precisamos que:
Então, temos um único ponto crítico em .

Passo 3

Agora que encontramos o ponto crítico, vamos determinar se ele é um máximo, mínimo ou ponto de inflexão. Para isso, vamos analisar o comportamento da função em torno de .
Vamos analisar o sinal da derivada antes e depois de :
  • Para : Vamos escolher por simplicidade.
    Isso significa que a função está crescente nesse intervalo.
  • Para : Vamos escolher .
    Aqui, a função está decrescente.

Passo 4

Como a função está crescendo para e decrescendo para , isso indica que em temos um máximo absoluto. Ou seja, a função atinge o seu valor máximo nesse ponto.
Além disso, já que não encontramos nenhum outro ponto crítico onde a derivada muda de sinal de positivo para negativo de forma similar, concluímos que a função não possui mínimo.

Resposta

A função possui um ponto crítico em , que é um máximo absoluto, pois a função está crescente para e decrescente para . Ela não possui mínimo.

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