Qual a derivada de f = x^2 + x * y, na direção de v = (3, 4) no ponto P(1,2).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e queremos encontrar a derivada direcional dessa função na direção do vetor no ponto P(1,2). Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de derivada direcional e como calcular o gradiente da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função f. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de f em relação a cada variável. Ele nos mostra a direção de maior crescimento da função.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente de f é:

Passo 4

No ponto P(1,2), substituímos os valores de x e y no gradiente:

Passo 5

Agora, precisamos normalizar o vetor , ou seja, transformá-lo em um vetor unitário. Para isso, calculamos o seu módulo:
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 6

A derivada direcional é o produto escalar do gradiente pelo vetor unitário:

Resposta

A derivada direcional de f = x^2 + x * y na direção de v = (3, 4) no ponto P(1,2) é .

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