Qual a derivada de
, na direção de
no ponto
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e queremos encontrar a derivada direcional dessa função na direção do vetor
no ponto
. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de derivada direcional e como calcular o gradiente da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a cada variável. Ele nos mostra a direção de maior crescimento da função.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente de
é:
Passo 4
No ponto
, substituímos os valores de
e
no gradiente:
Passo 5
Agora, precisamos normalizar o vetor
, ou seja, transformá-lo em um vetor unitário. Para isso, calculamos o seu módulo:
Então, o vetor unitário na direção de
é:
Passo 6
A derivada direcional é o produto escalar do gradiente pelo vetor unitário:
Resposta
A derivada direcional de
na direção de
no ponto
é
.
Exercícios relacionados
Determine o vetor gradiente da função
.
Determinar a curva de nível e o vetor gradiente da função
, no ponto (
).
Determinar a derivada direcional e o gradiente da função
, no ponto( 2,2 ) e direção
.