Determine o vetor gradiente da função f(x, y) = x^2 - x*y.

Passo 1

Então, a gente tem uma função chamada . O que a gente precisa encontrar aqui é o vetor gradiente dessa função. Na matéria de cálculo, o gradiente é super útil porque ele aponta na direção de maior crescimento da função e nos dá informações sobre as taxas de variação. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a e .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que é como se a gente derivasse a função tratando como uma constante. Então, derivando em relação a , e derivando em relação a . Assim, a derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Aqui, tratamos como uma constante. Derivando em relação a dá zero, porque não depende de . E derivando em relação a . Portanto, a derivada parcial em relação a é:

Passo 4

Com as duas derivadas parciais calculadas, a gente junta elas para formar o vetor gradiente. O vetor gradiente de é simplesmente um vetor que tem essas duas derivadas como componentes. Então, o gradiente é dado por:

Resposta

O vetor gradiente da função é:

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