Determine o vetor gradiente da função
.
Passo 1
Então, a gente tem uma função chamada
. O que a gente precisa encontrar aqui é o vetor gradiente dessa função. Na matéria de cálculo, o gradiente é super útil porque ele aponta na direção de maior crescimento da função e nos dá informações sobre as taxas de variação. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que é como se a gente derivasse a função tratando
como uma constante. Então, derivando
em relação a
dá
, e derivando
em relação a
dá
. Assim, a derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Aqui, tratamos
como uma constante. Derivando
em relação a
dá zero, porque
não depende de
. E derivando
em relação a
dá
. Portanto, a derivada parcial em relação a
é:
Passo 4
Com as duas derivadas parciais calculadas, a gente junta elas para formar o vetor gradiente. O vetor gradiente de
é simplesmente um vetor que tem essas duas derivadas como componentes. Então, o gradiente
é dado por:
Resposta
O vetor gradiente da função
é: