Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial
com as condições iniciais
e
. A matéria que vamos precisar é a de equações diferenciais lineares com forças impulsivas, usando a função delta de Dirac. Primeiro, vamos entender como resolver a equação homogênea e depois lidar com o termo da função delta.
Passo 2
Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
. A solução geral dessa equação é uma combinação de funções seno e cosseno. Isso porque a equação característica é
, cujas raízes são
. Então, a solução geral é:
onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 3
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
. Primeiro, para
:
Então,
.
Agora, derivamos
para encontrar
:
Aplicando
:
Então,
.
Passo 4
Com
e
, a solução homogênea fica:
Agora, precisamos considerar o efeito do termo
, que é uma força impulsiva aplicada no instante
.
Passo 5
A função delta de Dirac
age como um impulso que causa uma descontinuidade na derivada de
no ponto
. Para resolver isso, usamos a propriedade de que a integral da delta sobre seu ponto de impulso é 1. Portanto, a condição de salto na derivada é:
Antes do impulso, a solução é
. Após o impulso, a forma da solução continua a mesma, mas com a derivada modificada.
Passo 6
Calculamos
usando a solução homogênea:
Então, após o impulso:
Agora, a solução para
é:
onde
é uma constante que ajusta a derivada.
Passo 7
Usamos a condição
para encontrar
:
Em
:
Resposta
A solução completa é:
Exercícios relacionados
Determine o vetor gradiente da função
.
Calcule o vetor gradiente da função
, no ponto
.
Qual a derivada de
, na direção de
no ponto
.
Determinar a curva de nível e o vetor gradiente da função
, no ponto (
).