y'' + 4y = delta(t - 4 pi); y(0) = 1/2, y'(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial com as condições iniciais e . A matéria que vamos precisar é a de equações diferenciais lineares com forças impulsivas, usando a função delta de Dirac. Primeiro, vamos entender como resolver a equação homogênea e depois lidar com o termo da função delta.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada: . A solução geral dessa equação é uma combinação de funções seno e cosseno. Isso porque a equação característica é , cujas raízes são . Então, a solução geral é:
onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 3

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e . Primeiro, para :
Então, .
Agora, derivamos para encontrar :
Aplicando :
Então, .

Passo 4

Com e , a solução homogênea fica:
Agora, precisamos considerar o efeito do termo , que é uma força impulsiva aplicada no instante .

Passo 5

A função delta de Dirac age como um impulso que causa uma descontinuidade na derivada de no ponto . Para resolver isso, usamos a propriedade de que a integral da delta sobre seu ponto de impulso é 1. Portanto, a condição de salto na derivada é:
Antes do impulso, a solução é . Após o impulso, a forma da solução continua a mesma, mas com a derivada modificada.

Passo 6

Calculamos usando a solução homogênea:
Então, após o impulso:
Agora, a solução para é:
onde é uma constante que ajusta a derivada.

Passo 7

Usamos a condição para encontrar :
Em :

Resposta

A solução completa é:

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