Encontre os máximos e mínimos globais de f no intervalo dado: f(x) = x * e^(-x) no intervalo [-1, 2].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os máximos e mínimos globais da função no intervalo . Isso está no campo do Cálculo, mais especificamente em otimização de funções. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função, encontrar os pontos críticos e avaliar a função nesses pontos e nas extremidades do intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . Para isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é .
Então, temos:

Passo 3

Agora, encontramos os pontos críticos onde a derivada é zero ou não existe. Nossa derivada está definida para todo , então só precisamos igualar a zero:
Sabemos que nunca é zero, então:
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 4

Vamos agora avaliar a função no ponto crítico ( ) e nas extremidades do intervalo ( e ).
Para :
Para :
Para :

Resposta

Comparando os valores:
  • O mínimo global é em .
  • O máximo global é em .

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