Encontre os máximos e mínimos globais de
no intervalo dado:
no intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os máximos e mínimos globais da função
no intervalo
. Isso está no campo do Cálculo, mais especificamente em otimização de funções. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função, encontrar os pontos críticos e avaliar a função nesses pontos e nas extremidades do intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. Para isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de
é
.
Então, temos:
Passo 3
Agora, encontramos os pontos críticos onde a derivada é zero ou não existe. Nossa derivada
está definida para todo
, então só precisamos igualar a zero:
Sabemos que
nunca é zero, então:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 4
Vamos agora avaliar a função
no ponto crítico (
) e nas extremidades do intervalo (
e
).
Para
:
Para
:
Para
:
Resposta
Comparando os valores:
- O mínimo global é
em . - O máximo global é
em .