Derivada da função inversa: se
é bijetóra e derivável no ponto
com
e tal que
for contínua em b, então
é diferenciável em
e ainda temos que,
Calcule a derivada de
para
.
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver um exercício sobre a derivada de uma função inversa. A gente vai usar a fórmula que relaciona a derivada de uma função com a derivada da sua inversa. Nosso objetivo aqui é calcular a derivada de
para
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que queremos derivar. Aqui, a função é
, que também pode ser escrita como
. Para usar a fórmula da derivada da função inversa, precisamos encontrar a inversa dessa função.
Passo 3
Para encontrar a função inversa, trocamos
por
e resolvemos para
. Então, temos:
Elevando ambos os lados ao cubo para isolar
, ficamos com:
Portanto, a função inversa é:
Passo 4
Agora, vamos aplicar a fórmula da derivada da função inversa. A fórmula é:
Aqui, precisamos calcular
onde
.
Passo 5
Vamos encontrar a derivada de
. A regra da potência nos diz que:
Passo 6
Agora, aplicamos a fórmula da derivada da função inversa. Temos:
Passo 7
Sabemos que
, então substituindo na expressão acima:
Passo 8
Finalmente, chegamos à derivada da função inversa. Mas vamos lembrar que queremos a derivada de
, então substituímos
por
:
Resposta
A derivada de
para
é:
Exercícios relacionados
Explicite os pontos de descontinuidade das seguintes funções:
e)
e)
Calcule
, se
.
Determinar a solução do P.V.I:
.
Encontre, se existirem, ponto de acumulação, ponto de máximo, ponto de mínimo, supremo e ínfimo dos seguintes conjuntos:
k)
k)