Derivada da função inversa: se f é bijetóra e derivável no ponto a = f^(-1)(b) com f'(a) != 0 e tal que f^-1 for contínua em b, então f^-1 é diferenciável em b e ainda temos que,
(f^{-1})'(b) = 1 / f'(f^{-1}(b))
Calcule a derivada de raiz3(x) para x != 0.

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver um exercício sobre a derivada de uma função inversa. A gente vai usar a fórmula que relaciona a derivada de uma função com a derivada da sua inversa. Nosso objetivo aqui é calcular a derivada de raiz3(x) para x != 0.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que queremos derivar. Aqui, a função é , que também pode ser escrita como . Para usar a fórmula da derivada da função inversa, precisamos encontrar a inversa dessa função.

Passo 3

Para encontrar a função inversa, trocamos x por y e resolvemos para y. Então, temos:
Elevando ambos os lados ao cubo para isolar x, ficamos com:
Portanto, a função inversa é:

Passo 4

Agora, vamos aplicar a fórmula da derivada da função inversa. A fórmula é:
Aqui, precisamos calcular f'(a) onde .

Passo 5

Vamos encontrar a derivada de . A regra da potência nos diz que:

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula da derivada da função inversa. Temos:

Passo 7

Sabemos que , então substituindo na expressão acima:

Passo 8

Finalmente, chegamos à derivada da função inversa. Mas vamos lembrar que queremos a derivada de , então substituímos b por x:

Resposta

A derivada de raiz3(x) para x != 0 é:

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