Determinar a solução do P.V.I: d y / d x = x^2 / (y(1 + x^3)), y(0) = 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial ordinária do tipo Valor Inicial (P.V.I):
Aqui, vamos usar o método de separação de variáveis para encontrar a solução. Isso significa que vamos separar os termos envolvendo dos que envolvem para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis e . A equação dada é:
Multiplicando ambos os lados por e por , temos:
Agora, cada lado da equação tem apenas uma variável, o que facilita a integração.

Passo 3

Vamos integrar ambos os lados da equação:
Começando pela integral do lado esquerdo:

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral do lado direito:
Fazendo uma substituição para simplificar:
Sejam , então ou .
Substituindo, a integral fica:

Passo 5

Agora, juntando as integrais dos dois lados:
Podemos simplificar as constantes e em uma única constante :

Passo 6

Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar o valor de .
Substituindo e na equação:

Passo 7

Substituindo de volta na equação:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:

Resposta

A solução do P.V.I é:

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