Determinar a solução do P.V.I:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial ordinária do tipo Valor Inicial (P.V.I):
Aqui, vamos usar o método de separação de variáveis para encontrar a solução. Isso significa que vamos separar os termos envolvendo
dos que envolvem
para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis
e
. A equação dada é:
Multiplicando ambos os lados por
e por
, temos:
Agora, cada lado da equação tem apenas uma variável, o que facilita a integração.
Passo 3
Vamos integrar ambos os lados da equação:
Começando pela integral do lado esquerdo:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral do lado direito:
Fazendo uma substituição para simplificar:
Sejam
, então
ou
.
Substituindo, a integral fica:
Passo 5
Agora, juntando as integrais dos dois lados:
Podemos simplificar as constantes
e
em uma única constante
:
Passo 6
Agora, vamos usar a condição inicial
para encontrar o valor de
.
Substituindo
e
na equação:
Passo 7
Substituindo
de volta na equação:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Resposta
A solução do P.V.I é:
Exercícios relacionados
Derivada da função inversa: se
é bijetóra e derivável no ponto
com
e tal que
for contínua em b, então
é diferenciável em
e ainda temos que,
Calcule a derivada de
para
.
Explicite os pontos de descontinuidade das seguintes funções:
e)
e)
Encontre, se existirem, ponto de acumulação, ponto de máximo, ponto de mínimo, supremo e ínfimo dos seguintes conjuntos:
k)
k)
Encontre, se existirem, ponto de acumulação, ponto de máximo, ponto de mínimo, supremo e ínfimo dos seguintes conjuntos:
o)
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