Encontre, se existirem, ponto de acumulação, ponto de máximo, ponto de mínimo, supremo e ínfimo dos seguintes conjuntos:
k) K = {x em R / (x-2)/(x+3) <= 0}

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar, se existirem, os pontos de acumulação, ponto de máximo, ponto de mínimo, supremo e ínfimo do conjunto . Isso está dentro da matéria de Análise Real, especificamente tratando de inequações e propriedades de conjuntos de números reais. Para resolver, vamos precisar resolver a inequação e depois analisar as propriedades do conjunto resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a inequação . Para isso, identificamos onde a fração é negativa ou igual a zero. A fração muda de sinal nos pontos onde o numerador ou o denominador é zero, ou seja, em e .

Passo 3

Agora, vamos dividir a reta dos números reais em intervalos separados por esses pontos críticos: , e . Testando cada intervalo:
  • Para , por exemplo, :
    Então, a expressão é positiva nesse intervalo.
  • Para , por exemplo, :
    Aqui, a expressão é negativa.
  • Para , por exemplo, :
    A expressão volta a ser positiva.
Além disso, no ponto :
Então, a inequação é satisfeita em .
Importante lembrar que em , a fração não está definida, então não pertence ao conjunto.

Passo 4

Com isso, o conjunto é dado por . Agora, vamos analisar as propriedades:
  • Pontos de acumulação: São todos os pontos onde qualquer vizinhança contém pontos de . Como é o intervalo aberto à esquerda e fechado à direita, todos os pontos de são pontos de acumulação. Além disso, os pontos extremos e também são pontos de acumulação.
  • Ponto de máximo e mínimo:
    • Máximo: É o maior elemento de . Como está incluído, é o ponto de máximo.
    • Mínimo: Não existe mínimo em porque não está incluído no conjunto.
  • Supremo e Ínfimo:
    • Supremo: É o menor número que é maior ou igual a todos os elementos de . Aqui, .
    • Ínfimo: É o maior número que é menor ou igual a todos os elementos de . Como se estende até sem incluir, .

Resposta

O conjunto possui todos os pontos de acumulação em . O ponto de máximo é . Não existe ponto de mínimo. O supremo de é e o ínfimo é .

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