Encontre, se existirem, ponto de acumulação, ponto de máximo, ponto de mínimo, supremo e ínfimo dos seguintes conjuntos:
k)
k)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar, se existirem, os pontos de acumulação, ponto de máximo, ponto de mínimo, supremo e ínfimo do conjunto
. Isso está dentro da matéria de Análise Real, especificamente tratando de inequações e propriedades de conjuntos de números reais. Para resolver, vamos precisar resolver a inequação e depois analisar as propriedades do conjunto resultante.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a inequação
. Para isso, identificamos onde a fração é negativa ou igual a zero. A fração muda de sinal nos pontos onde o numerador ou o denominador é zero, ou seja, em
e
.
Passo 3
Agora, vamos dividir a reta dos números reais em intervalos separados por esses pontos críticos:
,
e
. Testando cada intervalo:
-
Para
, por exemplo, : Então, a expressão é positiva nesse intervalo. -
Para
, por exemplo, : Aqui, a expressão é negativa. -
Para
, por exemplo, : A expressão volta a ser positiva.
Além disso, no ponto
:
Então, a inequação é satisfeita em
.
Importante lembrar que em
, a fração não está definida, então
não pertence ao conjunto.
Passo 4
Com isso, o conjunto
é dado por
. Agora, vamos analisar as propriedades:
-
Pontos de acumulação: São todos os pontos onde qualquer vizinhança contém pontos de
. Como é o intervalo aberto à esquerda e fechado à direita, todos os pontos de são pontos de acumulação. Além disso, os pontos extremos e também são pontos de acumulação. -
Ponto de máximo e mínimo:
- Máximo: É o maior elemento de
. Como está incluído, é o ponto de máximo. - Mínimo: Não existe mínimo em
porque não está incluído no conjunto.
- Máximo: É o maior elemento de
-
Supremo e Ínfimo:
- Supremo: É o menor número que é maior ou igual a todos os elementos de
. Aqui, . - Ínfimo: É o maior número que é menor ou igual a todos os elementos de
. Como se estende até sem incluir, .
- Supremo: É o menor número que é maior ou igual a todos os elementos de
Resposta
O conjunto
possui todos os pontos de acumulação em
. O ponto de máximo é
. Não existe ponto de mínimo. O supremo de
é
e o ínfimo é
.
Exercícios relacionados
Determinar a solução do P.V.I:
.
Derivada da função inversa: se
é bijetóra e derivável no ponto
com
e tal que
for contínua em b, então
é diferenciável em
e ainda temos que,
Calcule a derivada de
para
.
Encontre, se existirem, ponto de acumulação, ponto de máximo, ponto de mínimo, supremo e ínfimo dos seguintes conjuntos:
o)
o)
Verifique que a EDO
é exata e em seguida resolva-a.