A derivada de uma função num ponto
O limite é muito importante, por isso receberá uma denominação especial.
Definição: Seja uma função e um ponto do seu domínio. Chama-se derivada da função no ponto e denota-se (lê-se linha de ), o limite
Forma alternativa para derivada:
Se fizermos , obtemos a seguinte forma para :
Outras notações para a derivada da função num ponto qualquer:
(lê-se: linha de );
(lê-se: derivada da função em relação à );
(lê-se: derivada de em relação à ).
Questão 8
Dada a função , determine . Use as duas formas da definição.
Usando Usando
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre derivadas! A gente precisa encontrar a derivada da função no ponto , usando duas formas diferentes da definição de derivada. A matéria que estamos lidando aqui é Cálculo Diferencial, e vamos precisar entender como aplicar o limite para encontrar a derivada.
Passo 2
Vamos usar a primeira forma da definição de derivada:
No nosso caso, , então temos:
Primeiro, vamos calcular :
Agora, substituímos na expressão do limite:
Substituímos pela função dada:
Agora, vamos fatorar o numerador:
Então, temos:
Podemos simplificar cancelando :
Passo 3
Agora, vamos usar a segunda forma da definição de derivada, que envolve :