A derivada de uma função num ponto
O limite lim x xo f(x)-f(xo)x-xo é muito importante, por isso receberá uma denominação especial.
Definição: Seja y=f(x) uma função e xo um ponto do seu domínio. Chama-se derivada da função f no ponto xo e denota-se f^prime(xo) (lê-se f linha de xo ), o limite
f^prime(xo)=lim x xo f(x)-f(xo)x-xo , quando este existir
Forma alternativa para derivada:
Se fizermos De, obtemos a seguinte forma para f^prime(xo) :
f^prime(xo)=lim De
Outras notações para a derivada da função y=f(x) num ponto x qualquer:
  • y^prime(x) (lê-se: y linha de x );
  • Dx f (lê-se: derivada da função f em relação à x );
  • d yd x (lê-se: derivada de y em relação à x ).

Questão 8

Dada a função f(x)=x^2-x+1, determine f^prime(2). Use as duas formas da definição.
Usando f^prime(xo)=lim x xo f(x)-f(xo)x-xo e Usando f^prime(xo)=lim De

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre derivadas! A gente precisa encontrar a derivada da função no ponto , usando duas formas diferentes da definição de derivada. A matéria que estamos lidando aqui é Cálculo Diferencial, e vamos precisar entender como aplicar o limite para encontrar a derivada.

Passo 2

Vamos usar a primeira forma da definição de derivada:
f^prime(xo) = lim x xo f(x) - f(xo)x - xo
No nosso caso, f^prime(2) = lim x 2 f(x) - f(2)x - 2 , então temos:
f(2) = (2)^2 - 2 + 1 = 4 - 2 + 1 = 3
Primeiro, vamos calcular f^prime(2) = lim x 2 f(x) - 3x - 2 :
f^prime(2) = lim x 2 x^2 - x + 1 - 3x - 2 = lim x 2 x^2 - x - 2x - 2
Agora, substituímos na expressão do limite:
x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)
Substituímos f^prime(2) = lim x 2 (x - 2)(x + 1)x - 2 pela função dada:
f^prime(2) = lim x 2 (x + 1) = 2 + 1 = 3
Agora, vamos fatorar o numerador:
Então, temos:
Podemos simplificar cancelando :

Passo 3

Agora, vamos usar a segunda forma da definição de derivada, que envolve f^prime(xo) = lim De:
f^prime(2) = lim De
Substituindo f(2 + De:
f(2 + De
Primeiro, vamos calcular f^prime(2) = lim De:
f^prime(2) = lim De
Simplificando:
Agora, substituímos na expressão do limite:
Podemos fatorar no numerador:

Resposta

A derivada da função no ponto é .

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(d) |x| > -4;
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