Resolva em R as inequações simultâneas abaixo:
(b) x^2 + 1 <= 2 x^2 - 3 < -5 x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa inequação simultânea em . O exercício envolve resolver duas inequações ao mesmo tempo usando álgebra básica e propriedades das desigualdades. Para isso, vamos precisar isolar em cada inequação e encontrar os valores que satisfazem ambas.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as duas inequações que estão conectadas pela desigualdade:
Vamos resolver cada uma delas individualmente.

Passo 3

Começando com a primeira inequação:
Vamos mover todos os termos para o lado esquerdo para facilitar:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por (lembrando que ao multiplicar por um número negativo, a desigualdade se inverte):
Isso é uma inequação quadrática. Vamos resolvê-la encontrando as raízes:
Agora, vamos analisar os intervalos determinados por essas raízes:
  • Para , por exemplo : (verdadeiro)
  • Para , por exemplo : (falso)
  • Para , por exemplo : (verdadeiro)
Então, a solução da primeira inequação é:
ou

Passo 4

Agora, vamos resolver a segunda inequação:
Primeiro, vamos mover todos os termos para o lado esquerdo:
Rearranjando os termos:
Essa é uma inequação quadrática. Vamos encontrar as raízes da equação associada:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e :
Então:
Isso nos dá duas raízes:
Agora, vamos analisar os intervalos determinados por essas raízes:
  • Para , por exemplo : (falso)
  • Para , por exemplo : (verdadeiro)
  • Para , por exemplo : (falso)
Então, a solução da segunda inequação é:

Resposta

Unindo as soluções das duas inequações, precisamos que ou E . A interseção desses intervalos é:
Portanto, a solução do sistema de inequações é:

Exercícios relacionados

Resolva em R as inequações abaixo:
(b) raiz(x^2 - 3x) < 2;
Nos exercícios a seguir, determine a área da região limitada pelas curvas dadas.
y = -1 - x^2 e y = -2x - 4
Resolva em R as inequações abaixo:
(d) |x| > -4;
A derivada de uma função num ponto
O limite lim x xo f(x)-f(xo)x-xo é muito importante, por isso receberá uma denominação especial.
Definição: Seja y=f(x) uma função e xo um ponto do seu domínio. Chama-se derivada da função f no ponto xo e denota-se f^prime(xo) (lê-se f linha de xo ), o limite
f^prime(xo)=lim x xo f(x)-f(xo)x-xo , quando este existir
Forma alternativa para derivada:
Se fizermos De, obtemos a seguinte forma para f^prime(xo) :
f^prime(xo)=lim De
Outras notações para a derivada da função y=f(x) num ponto x qualquer:
  • y^prime(x) (lê-se: y linha de x );
  • Dx f (lê-se: derivada da função f em relação à x );
  • d yd x (lê-se: derivada de y em relação à x ).

Questão 8

Dada a função f(x)=x^2-x+1, determine f^prime(2). Use as duas formas da definição.
Usando f^prime(xo)=lim x xo f(x)-f(xo)x-xo e Usando f^prime(xo)=lim De