Resolva em R as inequações abaixo:
(f) |x - 2| - |x - 3| > x;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para resolver a inequação nos números reais ( ). Aqui, estamos lidando com desigualdades que envolvem valores absolutos. Para resolver isso, vamos precisar entender como os valores absolutos se comportam e dividir o problema em casos, dependendo dos valores de .

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os pontos onde as expressões dentro dos valores absolutos mudam de sinal. Ou seja, vamos encontrar os valores de que fazem com que e .
Resolvendo:
Então, os pontos críticos são e . Esses pontos vão dividir a linha dos números reais em três intervalos distintos que vamos analisar separadamente.

Passo 3

Vamos dividir o problema em três casos, de acordo com os intervalos determinados pelos pontos críticos:
  1. Caso 1:
  2. Caso 2:
  3. Caso 3:
Em cada intervalo, a expressão dentro do valor absoluto será positiva ou negativa, o que simplifica a resolução.

Passo 4

Caso 1:
Neste intervalo:
  • , então
  • , então
Substituindo na inequação:
Simplificando:
Então, a solução neste caso é .

Passo 5

Caso 2:
Neste intervalo:
  • , então
  • , então
Substituindo na inequação:
Simplificando:
Subtraindo de ambos os lados:
Mas lembre-se que estamos no intervalo . A condição não se aplica aqui, então não há soluções neste caso.

Passo 6

Caso 3:
Neste intervalo:
  • , então
  • , então
Substituindo na inequação:
Simplificando:
Isso implica que . Porém, estamos considerando , então não há soluções neste caso também.

Resposta

A solução da inequação é .

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Resolva em R as inequações abaixo:
(e) |x^2 - 6x + 5| + 1 < x;
A derivada de uma função num ponto
O limite lim x xo f(x)-f(xo)x-xo é muito importante, por isso receberá uma denominação especial.
Definição: Seja y=f(x) uma função e xo um ponto do seu domínio. Chama-se derivada da função f no ponto xo e denota-se f^prime(xo) (lê-se f linha de xo ), o limite
f^prime(xo)=lim x xo f(x)-f(xo)x-xo , quando este existir
Forma alternativa para derivada:
Se fizermos De, obtemos a seguinte forma para f^prime(xo) :
f^prime(xo)=lim De
Outras notações para a derivada da função y=f(x) num ponto x qualquer:
  • y^prime(x) (lê-se: y linha de x );
  • Dx f (lê-se: derivada da função f em relação à x );
  • d yd x (lê-se: derivada de y em relação à x ).

Questão 8

Dada a função f(x)=x^2-x+1, determine f^prime(2). Use as duas formas da definição.
Usando f^prime(xo)=lim x xo f(x)-f(xo)x-xo e Usando f^prime(xo)=lim De
Resolva em R as inequações abaixo:
(g) |x - 2| - |x + 4| <= 1 - x;
Resolva em R as inequações abaixo:
(h) |x + 2| + |2x - 2| > x + 8.