Beleza, vamos resolver a inequação . Primeiro, resumindo o que temos aqui:
Tipo de problema: Inequação envolvendo valor absoluto.
Matéria envolvida: Álgebra, especificamente resolução de inequações com módulo.
O que precisamos: Entender como lidar com o valor absoluto e dividir a inequação em casos para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o valor absoluto. A expressão significa que estamos olhando para a distância de A em relação a zero na reta numérica, ou seja, sempre será positivo ou zero. Então, para resolver , precisamos considerar dois casos:
Quando
Quando
Passo 3
Caso 1:
Aqui, o valor absoluto não muda a expressão, então a inequação fica:
Simplificando:
Passo 4
Vamos levar tudo para um lado da inequação para facilitar:
Simplificando mais:
Passo 5
Agora, resolvemos a inequação quadrática . Para isso, encontramos as raízes da equação usando a fatoração:
Então, as raízes são x = 1 e .
Passo 6
Para saber onde a inequação é verdadeira, analisamos o sinal do polinômio entre as raízes:
Entre x = 1 e , o polinômio é negativo.
Fora desse intervalo, é positivo.
Então, a solução desse caso é .
Passo 7
Lembrando que nesse caso , vamos verificar onde isso acontece. Resolvemos :
Fatorando:
As soluções são x <= 1 ou .
Passo 8
Agora, combinamos as soluções das duas inequações do Caso 1:
A solução da inequação quadrática é .
A condição para esse caso é x <= 1 ou .
A interseção dessas condições é .
Passo 9
Caso 2:
Aqui, o valor absoluto inverte o sinal da expressão dentro, então a inequação fica:
Simplificando:
Ou seja:
Passo 10
Levamos tudo para um lado da inequação:
Simplificando:
Multiplicamos por -1 (lembre que isso inverte o sinal da inequação):
Passo 11
Resolvemos a inequação quadrática . Primeiro, encontramos as raízes da equação :
Fatorando:
As raízes são x = 1 e .
Passo 12
Analisamos o sinal do polinômio :
Para , o polinômio é positivo.
Entre , é negativo.
Para , é positivo.
Então, a solução dessa inequação é ou .
Passo 13
Lembrando que nesse caso , vamos verificar onde isso acontece. Resolvemos :
Fatorando:
As soluções são .
Passo 14
Combinamos as soluções das duas inequações do Caso 2: