As derivadas parciais ocorrem em equações diferenciais parciais que exprimem certas leis físicas. Por exemplo, a equação diferencial parcial
é denominada equação de Laplace em homenagem a Pierre Laplace (1749-1827). As soluções dessa equação são chamadas funções harmônicas e são muito importantes no estudo de condução de calor, escoamento de fluidos e potencial elétrico. Determine se cada uma das seguintes funções é solução da equação de Laplace:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma equação chamada Equação de Laplace, que é uma equação diferencial parcial do tipo
. Essa equação aparece em várias áreas da física, como condução de calor e escoamento de fluidos. O exercício quer saber se a função
resolve essa equação. Para descobrir isso, a gente precisa calcular as derivadas parciais de segunda ordem de
em relação a
e
, somar elas e ver se dá zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são derivadas parciais. A derivada parcial de uma função em relação a uma variável é a derivada considerando que as outras variáveis são constantes. No nosso caso, vamos precisar calcular
e
.
Passo 3
Vamos começar calculando a primeira derivada de
em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
:
Passo 5
Em seguida, vamos calcular a primeira derivada de
em relação a
:
Passo 6
Agora, calculamos a segunda derivada de
em relação a
:
Passo 7
Vamos somar
e
:
Resposta
Como a soma das derivadas parciais de segunda ordem é igual a zero, a função
satisfaz a Equação de Laplace. Portanto, ela é uma solução da equação.
Exercícios relacionados
Determine as derivadas parciais da função:
Determinar a transformada inversa de Laplace pedida.
Encontre a solução dos problemas de valor inicial dados:
.
Liste os cinco primeiros termos da sequência