As derivadas parciais ocorrem em equações diferenciais parciais que exprimem certas leis físicas. Por exemplo, a equação diferencial parcial é denominada equação de Laplace em homenagem a Pierre Laplace (1749-1827). As soluções dessa equação são chamadas funções harmônicas e são muito importantes no estudo de condução de calor, escoamento de fluidos e potencial elétrico. Determine se cada uma das seguintes funções é solução da equação de Laplace:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma equação chamada Equação de Laplace, que é uma equação diferencial parcial do tipo . Essa equação aparece em várias áreas da física, como condução de calor e escoamento de fluidos. O exercício quer saber se a função resolve essa equação. Para descobrir isso, a gente precisa calcular as derivadas parciais de segunda ordem de em relação a e , somar elas e ver se dá zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são derivadas parciais. A derivada parcial de uma função em relação a uma variável é a derivada considerando que as outras variáveis são constantes. No nosso caso, vamos precisar calcular e .

Passo 3

Vamos começar calculando a primeira derivada de em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada de em relação a :

Passo 5

Em seguida, vamos calcular a primeira derivada de em relação a :

Passo 6

Agora, calculamos a segunda derivada de em relação a :

Passo 7

Vamos somar e :

Resposta

Como a soma das derivadas parciais de segunda ordem é igual a zero, a função satisfaz a Equação de Laplace. Portanto, ela é uma solução da equação.

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