Determinar a transformada inversa de Laplace pedida.

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício de transformada inversa de Laplace. O enunciado pede para encontrar a transformada inversa de
Vamos precisar usar a teoria de frações parciais para decompor essa expressão e depois aplicar as transformadas inversas conhecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a expressão usando frações parciais. Queremos escrever
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores, temos:

Passo 3

Agora, vamos expandir e organizar os termos:
Reagrupando de acordo com as potências de :
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais dos dois lados. Assim, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 4

Resolvendo o sistema:
  1. Da terceira equação: .
  2. Da primeira equação: .
  3. Da quarta equação: .
  4. Da segunda equação: .
Então, temos:

Passo 5

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente:
  1. , pois .
  2. , já que com .
Então, combinando os dois resultados:

Resposta

A transformada inversa de Laplace é

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Nos problemas 1)-6), use a definição para determinar .
Determine as derivadas parciais da função:
As derivadas parciais ocorrem em equações diferenciais parciais que exprimem certas leis físicas. Por exemplo, a equação diferencial parcial é denominada equação de Laplace em homenagem a Pierre Laplace (1749-1827). As soluções dessa equação são chamadas funções harmônicas e são muito importantes no estudo de condução de calor, escoamento de fluidos e potencial elétrico. Determine se cada uma das seguintes funções é solução da equação de Laplace: