Determinar a transformada inversa de Laplace pedida.
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício de transformada inversa de Laplace. O enunciado pede para encontrar a transformada inversa de
Vamos precisar usar a teoria de frações parciais para decompor essa expressão e depois aplicar as transformadas inversas conhecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a expressão usando frações parciais. Queremos escrever
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores, temos:
Passo 3
Agora, vamos expandir e organizar os termos:
Reagrupando de acordo com as potências de
:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais dos dois lados. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 4
Resolvendo o sistema:
- Da terceira equação:
⇒ . - Da primeira equação:
⇒ . - Da quarta equação:
⇒ . - Da segunda equação:
⇒ .
Então, temos:
Passo 5
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente:
-
, pois . -
, já que com .
Então, combinando os dois resultados:
Resposta
A transformada inversa de Laplace é