Determine as derivadas parciais da função:
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo envolvendo derivadas parciais. A função que vamos analisar é
. Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais dessa função em relação a
e a
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que é representada por
.
Para isso, tratamos
como uma constante e diferenciamos cada termo da função em relação a
:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é , já que é constante. - Para o termo
, como é constante, a derivada em relação a é .
Somando essas derivadas, temos:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, representada por
.
Dessa vez, tratamos
como constante e diferenciamos cada termo em relação a
:
- A derivada de
em relação a é , já que não há nesse termo. - A derivada de
em relação a é , pois é constante. - Para o termo
, aplicamos a regra do produto. Considerando constante, temos: - A derivada de
em relação a é .
- A derivada de
Portanto, a derivada parcial é:
Resposta
As derivadas parciais da função
são:
e
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Determinar a transformada inversa de Laplace pedida.
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As derivadas parciais ocorrem em equações diferenciais parciais que exprimem certas leis físicas. Por exemplo, a equação diferencial parcial
é denominada equação de Laplace em homenagem a Pierre Laplace (1749-1827). As soluções dessa equação são chamadas funções harmônicas e são muito importantes no estudo de condução de calor, escoamento de fluidos e potencial elétrico. Determine se cada uma das seguintes funções é solução da equação de Laplace:
Encontre a solução dos problemas de valor inicial dados:
.