Determine as derivadas parciais da função:

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo envolvendo derivadas parciais. A função que vamos analisar é . Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais dessa função em relação a e a .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que é representada por .
Para isso, tratamos como uma constante e diferenciamos cada termo da função em relação a :
  1. A derivada de em relação a é .
  2. A derivada de em relação a é , já que é constante.
  3. Para o termo , como é constante, a derivada em relação a é .
Somando essas derivadas, temos:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , representada por .
Dessa vez, tratamos como constante e diferenciamos cada termo em relação a :
  1. A derivada de em relação a é , já que não há nesse termo.
  2. A derivada de em relação a é , pois é constante.
  3. Para o termo , aplicamos a regra do produto. Considerando constante, temos:
    • A derivada de em relação a é .
Portanto, a derivada parcial é:

Resposta

As derivadas parciais da função são:
e

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As derivadas parciais ocorrem em equações diferenciais parciais que exprimem certas leis físicas. Por exemplo, a equação diferencial parcial é denominada equação de Laplace em homenagem a Pierre Laplace (1749-1827). As soluções dessa equação são chamadas funções harmônicas e são muito importantes no estudo de condução de calor, escoamento de fluidos e potencial elétrico. Determine se cada uma das seguintes funções é solução da equação de Laplace:
Encontre a solução dos problemas de valor inicial dados: .