Use uma integral dupla em coordenadas polares para calcular o volume de um cilindro de raio a e altura
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o volume de um cilindro usando uma integral dupla em coordenadas polares. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especialmente integração em coordenadas polares. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar a integral dupla nessa coordenada e aplicar a fórmula adequada.
Passo 2
Primeiro, lembremos que um cilindro com raio
e altura
tem uma base circular e se estende verticalmente. Em coordenadas cartesianas, a área da base seria fácil de integrar, mas em coordenadas polares, a gente trabalha com
(raio) e
(ângulo). A ideia é expressar a área da base em coordenadas polares e depois multiplicar pela altura para obter o volume.
Passo 3
A fórmula para uma integral dupla em coordenadas polares é:
Aqui,
é a região que estamos integrando, e o fator extra
aparece devido à mudança de coordenadas. Para o nosso caso,
será constante, já que estamos calculando a área da base.
Passo 4
Como queremos calcular a área da base do cilindro, que é um círculo de raio
, podemos definir
. Então, a integral para a área
fica:
Isso cobre todo o círculo, pois
vai de
a
e
de
a
.
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Então, a área da base é
, como a gente já sabe pela fórmula clássica.
Passo 7
Para encontrar o volume do cilindro, multiplicamos a área da base pela altura
:
Resposta
O volume do cilindro é
.