Use uma integral dupla em coordenadas polares para calcular o volume de um cilindro de raio a e altura h.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o volume de um cilindro usando uma integral dupla em coordenadas polares. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especialmente integração em coordenadas polares. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar a integral dupla nessa coordenada e aplicar a fórmula adequada.

Passo 2

Primeiro, lembremos que um cilindro com raio e altura tem uma base circular e se estende verticalmente. Em coordenadas cartesianas, a área da base seria fácil de integrar, mas em coordenadas polares, a gente trabalha com (raio) e (ângulo). A ideia é expressar a área da base em coordenadas polares e depois multiplicar pela altura para obter o volume.

Passo 3

A fórmula para uma integral dupla em coordenadas polares é:
Aqui, é a região que estamos integrando, e o fator extra aparece devido à mudança de coordenadas. Para o nosso caso, será constante, já que estamos calculando a área da base.

Passo 4

Como queremos calcular a área da base do cilindro, que é um círculo de raio , podemos definir . Então, a integral para a área fica:
Isso cobre todo o círculo, pois vai de a e de a .

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Então, a área da base é , como a gente já sabe pela fórmula clássica.

Passo 7

Para encontrar o volume do cilindro, multiplicamos a área da base pela altura :

Resposta

O volume do cilindro é .

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