Use uma integral dupla em coordenadas polares para calcular a área da região descrita.
A região dentro do círculo
e fora do círculo
.
A região dentro do círculo
Passo 1
Beleza, então a gente tem um exercício de cálculo que pede pra calcular a área de uma região que está dentro de um círculo, mas fora de outro. Os círculos são dados pelas equações
e
. A gente vai usar uma integral dupla em coordenadas polares pra resolver isso. Basicamente, vamos precisar entender como converter as equações para coordenadas polares e identificar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar as equações dos círculos para coordenadas polares. Nas coordenadas polares,
e
. Então:
- Para o círculo
:
Expandindo:
Simplificando:
Isso nos dá:
- Para o círculo
:
Passo 3
Agora, vamos identificar onde esses dois círculos se intersectam para saber os limites de
. Igualando as duas expressões de
:
Então, os ângulos variam de
a
.
Passo 4
A área que queremos é a região dentro do círculo
e fora do círculo
. Então, para cada
entre
e
,
vai de 1 até
. A integral dupla fica assim:
Passo 5
Vamos calcular a integral interna primeiro:
Agora, a integral externa:
Usando a identidade
:
Então, a integral fica:
Calculando:
Simplificando:
Resposta
A área da região descrita é
unidades de área.