Use uma integral dupla em coordenadas polares para calcular a área da região descrita.
A região dentro do círculo (x-1)² + y² = 1 e fora do círculo x^2 + y^2 = 1.

Passo 1

Beleza, então a gente tem um exercício de cálculo que pede pra calcular a área de uma região que está dentro de um círculo, mas fora de outro. Os círculos são dados pelas equações e . A gente vai usar uma integral dupla em coordenadas polares pra resolver isso. Basicamente, vamos precisar entender como converter as equações para coordenadas polares e identificar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar as equações dos círculos para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, e . Então:
  1. Para o círculo :
Expandindo:
Simplificando:
Isso nos dá:
  1. Para o círculo :

Passo 3

Agora, vamos identificar onde esses dois círculos se intersectam para saber os limites de . Igualando as duas expressões de :
Então, os ângulos variam de a .

Passo 4

A área que queremos é a região dentro do círculo e fora do círculo . Então, para cada entre e , vai de 1 até . A integral dupla fica assim:
Á

Passo 5

Vamos calcular a integral interna primeiro:
Agora, a integral externa:
Usando a identidade :
Então, a integral fica:
Calculando:
Simplificando:

Resposta

A área da região descrita é unidades de área.

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