Seja um campo de forças dado por
.
(15.2) Calcule o trabalho realizado por
para mover uma particula ao longo da curva
, interseção da superfície
(onde
), com o plano
, orientada no sentido do crescimento de
.
(15.2) Calcule o trabalho realizado por
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo de forças
e precisa calcular o trabalho realizado por esse campo ao mover uma partícula ao longo de uma curva
. Essa curva é a interseção da superfície
(com
) e do plano
, e está orientada no sentido do crescimento de
. Vamos precisar usar conhecimentos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de trabalho por meio de integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrize a curva
. Como a interseção das duas superfícies é definida por
e
, podemos expressar
em termos de
:
Então, nossa parametrização em termos de
fica:
Aqui,
varia de tal forma que
, ou seja,
, o que nos dá
. Como a curva está orientada no sentido do crescimento de
, consideramos
indo de
a
.
Passo 3
Agora, vamos substituir essa parametrização no campo de forças
:
Simplificando cada componente:
Passo 4
Precisamos calcular o vetor derivada
:
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Vamos simplificar cada parte:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
Então, o produto escalar total fica:
Simplificando ainda mais:
Passo 5
Agora, vamos montar a integral de linha para calcular o trabalho realizado:
Substituindo o produto escalar que simplificamos:
Vamos dividir essa integral em partes para facilitar o cálculo:
Observando que as funções ímpares integradas de
a
vão dar zero, simplificamos:
Calculando as integrais restantes:
Para essa última integral, fazemos substituição
, então
. No entanto, devido à simetria da função, concluímos que:
Então, somando tudo:
Resposta
O trabalho realizado por
ao longo da curva
é zero.
Exercícios relacionados
Resolva as equações seguintes fazendo a mudança de variáveis
:
.
Use o método de Picard para obter as soluções das seguintes equações diferenciais. Encontre pelo menos a quarta aproximação para cada solução.
Use o método de Picard para obter as soluções das seguintes equações diferenciais. Encontre pelo menos a quarta aproximação para cada solução.
Derive
© .
©