Seja um campo de forças dado por F(x, y, z) = (3 x^2 y z + e^z, x^3 z, x^3 y + x e^z + 3 z^2).
(15.2) Calcule o trabalho realizado por F para mover uma particula ao longo da curva r, interseção da superfície z = 1 - x^2 (onde z >= 0 ), com o plano y + z = 1, orientada no sentido do crescimento de x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo de forças e precisa calcular o trabalho realizado por esse campo ao mover uma partícula ao longo de uma curva . Essa curva é a interseção da superfície (com ) e do plano , e está orientada no sentido do crescimento de . Vamos precisar usar conhecimentos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de trabalho por meio de integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrize a curva . Como a interseção das duas superfícies é definida por e , podemos expressar em termos de :
Então, nossa parametrização em termos de fica:
Aqui, varia de tal forma que , ou seja, , o que nos dá . Como a curva está orientada no sentido do crescimento de , consideramos indo de a .

Passo 3

Agora, vamos substituir essa parametrização no campo de forças :
Simplificando cada componente:

Passo 4

Precisamos calcular o vetor derivada :
Agora, vamos calcular o produto escalar :
Vamos simplificar cada parte:
  1. Primeiro termo:
  1. Segundo termo:
  1. Terceiro termo:
Então, o produto escalar total fica:
Simplificando ainda mais:

Passo 5

Agora, vamos montar a integral de linha para calcular o trabalho realizado:
Substituindo o produto escalar que simplificamos:
Vamos dividir essa integral em partes para facilitar o cálculo:
Observando que as funções ímpares integradas de a vão dar zero, simplificamos:
Calculando as integrais restantes:
Para essa última integral, fazemos substituição , então . No entanto, devido à simetria da função, concluímos que:
Então, somando tudo:

Resposta

O trabalho realizado por ao longo da curva é zero.

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Derive
© g(x) = e^x / x^2.