Derive cada função abaixo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função . Nosso objetivo é encontrar a derivada dessa função. Para isso, vamos precisar usar algumas regras de derivação, como a regra do quociente e a regra do produto. Além disso, vamos precisar saber como derivar funções exponenciais e logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que vão ser importantes para aplicar a regra do quociente. A função está na forma de um quociente, ou seja, uma divisão entre duas funções. Podemos chamar o numerador de e o denominador de . Então:

Passo 3

Agora, para derivar , vamos usar a Regra do Quociente. Essa regra nos diz que a derivada de um quociente de duas funções é dada por:
Então, precisamos encontrar e .

Passo 4

Vamos começar encontrando . Lembre-se que é um produto de duas funções, então vamos usar a Regra do Produto. A regra do produto diz que:
Calculando cada parte:
Então:

Passo 5

Agora vamos encontrar . Sabemos que . Para derivar uma função logarítmica, usamos a regra:
Aqui, , então:
Portanto:

Passo 6

Agora que temos e , vamos aplicar a regra do quociente:
Podemos fatorar no numerador:

Resposta

A derivada da função é:

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Aplicando Briot-Ruffini, dê o quociente e o resto de
Derive cada função abaixo.
Fatore
Fatore