Derive cada função dos exercícios a seguir
f(x) = 2 x cos(x) tan(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que derivar a função . Isso significa que queremos encontrar a taxa de variação dessa função em relação a . Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de derivadas, especificamente a Regra do Produto, que é usada quando temos funções multiplicadas umas pelas outras. Precisamos também lembrar como derivar funções trigonométricas como o cosseno e a tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que são multiplicadas. Temos três elementos: , e . Para facilitar, vamos chamar:
Agora, queremos derivar . Como são três funções multiplicadas, vamos precisar aplicar a Regra do Produto de forma estendida.

Passo 3

A Regra do Produto para três funções diz que a derivada de é:
Vamos calcular cada derivada separadamente:
  1. Derivada de :
  2. Derivada de :
    Sabemos que a derivada do cosseno é:
  3. Derivada de :
    A derivada da tangente é:

Passo 4

Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula da Regra do Produto:
Substituindo:

Passo 5

Vamos simplificar cada termo:
  1. Primeiro termo:
  2. Segundo termo:
  3. Terceiro termo:

Passo 6

Agora, juntando tudo:
Podemos simplificar combinando os termos que têm :
Sabemos que , então:

Resposta

A derivada da função é .

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