Derive cada um das funções abaixo.
f(x) = cot(10 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função . Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivação de funções trigonométricas e a regra da cadeia. Vamos precisar lembrar como derivar a cotangente e aplicar a regra da cadeia para lidar com o múltiplo dentro dela.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a derivada da função cotangente. A derivada de em relação a é:
Aqui, é a função cosecante, que é o inverso do seno.

Passo 3

Agora, observe que na nossa função , temos uma função composta: a cotangente de . Para derivar isso em relação a , precisamos aplicar a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa vezes a derivada da função interna .

Passo 4

Vamos aplicar a regra da cadeia passo a passo:
  1. Identifique a função externa e a interna .
  2. Derive a função externa em relação a :
  1. Derive a função interna em relação a :
  1. Multiplique as duas derivadas:

Passo 5

Substitua de volta por para obter a derivada em termos de :

Resposta

A derivada da função é:

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Derive cada um das funções abaixo.
f(x) = sen(3 x)
Sabemos que, para x > 0, log_a(x) = ln(x) / ln(a), com a > 0 e a <> 1. Utilizando a mudança de base apresentada, determine a derivada de cada um das funções abaixo.
f(x) = log2(x) / log4(x).
Derive cada um das funções abaixo.
f(x) = raiz(3)(2x)
Para cada função abaixo, determine f^n(x), onde
f(x) = cos(x), n = 3.