Derive cada uma das funções dadas abaixo: f(x)=(2x^3+5x-8)^3;

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para derivar a função . Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com a regra da cadeia, que é super útil para derivar funções compostas. Vamos precisar lembrar como aplicar essa regra para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, identificamos que temos uma função composta. Ou seja, uma função dentro de outra função. Neste caso, a função interna é e a função externa é .

Passo 3

A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é . Aplicando isso aqui, vamos derivar a função externa em relação a e depois multiplicar pela derivada da função interna em relação a .

Passo 4

Primeiro, derivamos a função externa . A derivada de em relação a é .

Passo 5

Agora, derivamos a função interna em relação a . Aplicando as regras básicas de derivação:
  • A derivada de é (usando a regra do poder: ).
  • A derivada de é .
  • A derivada de uma constante, como , é .
Então, .

Passo 6

Agora, aplicamos a regra da cadeia: multiplicamos a derivada da função externa pela derivada da função interna.
Substituímos e :

Resposta

A derivada da função é:

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