Determine a derivada da função vetorial. r(t) = raiz(2)i + e^t j + e^(-t) k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função vetorial . Isso está no conteúdo de Cálculo Vetorial, especificamente sobre derivadas de funções vetoriais. Para isso, vamos precisar saber como derivar funções escalares e aplicar isso a cada componente do vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função vetorial. Uma função vetorial como tem várias componentes, cada uma delas sendo uma função de . No nosso caso, temos três componentes: uma na direção , outra na e outra na .

Passo 3

A derivada de uma função vetorial é obtida derivando cada uma das suas componentes separadamente em relação a . Então, vamos derivar cada termo de individualmente.

Passo 4

Vamos começar com a primeira componente: . Observe que é uma constante. A derivada de uma constante em relação a é zero. Então,

Passo 5

Agora, a segunda componente: . Sabemos que a derivada de em relação a é . Assim,

Passo 6

Por último, a terceira componente: . A derivada de em relação a é . Então,

Resposta

Juntando todas as derivadas encontradas, a derivada da função vetorial é:

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