Derive cada uma das funções dadas abaixo: f(x) = ln(x^2 * sen(x) / raiz(1 + x))

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para derivar a função . Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas de funções que envolvem logaritmos e funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar propriedades dos logaritmos, a regra da cadeia e as derivadas básicas de funções como , e .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo usando as propriedades dos logaritmos. Lembrando que , podemos reescrever a função:

Passo 3

Agora, vamos simplificar ainda mais usando a propriedade e a propriedade :
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos derivar cada termo separadamente. Sabemos que a derivada de em relação a é . Vamos aplicar isso a cada termo:
  1. Derivada de :
  1. Derivada de :
  1. Derivada de :

Passo 5

Agora, somamos as derivadas dos três termos para obter a derivada total de :

Resposta

A derivada da função é:

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